Полезные модели¶

Полезные модели — термин из теории игр и микроэкономики, обозначающий такие модели (предпочтения, функции полезности, критерии выбора), которые удовлетворяют ряду аксиом рационального поведения: полноте, транзитивности, непрерывности и монотонности. В теории игр полезная модель — это модель, в которой каждому игроку сопоставлена функция полезности (выигрыша), определённая на множестве исходов игры, а предпочтения игрока удовлетворяют аксиомам, гарантирующим существование представления предпочтений через функцию полезности.

¶История

Понятие возникло в 1940-х годах в работах Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944), где была предложена аксиоматика для предпочтений над вероятностными распределениями исходов. В 1950-х годах Джон Харсани и Джон Нэш развили теорию для игр с несколькими игроками, введя понятие равновесия Нэша. В 1959 году Джон Маршалл и Джон Харсани сформулировали аксиомы полезных моделей для обобщённых игр. В 1960-х годах работы Кеннет Эрроу и Джерарда Дебре привели к аксиоматике рационального выбора, где полезная модель — это функция, представляющая предпочтения потребителя. В 1970-х годах Даниэль Канеман и Амос Тверски показали, что реальное поведение людей часто отклоняется от аксиом полезных моделей, что привело к развитию поведенческой экономики.

¶Аксиомы

Полезная модель определяется набором аксиом, которые должны удовлетворять предпочтения индивида. Основные аксиомы:

• Полнота — для любых двух исходов x и y индивид может сравнить их: либо x предпочтительнее y, либо y предпочтительнее x, либо он безразличен между ними.
• Транзитивность — если x предпочтительнее y, а y предпочтительнее z, то x предпочтительнее z.
• Непрерывность — если x предпочтительнее y, а y предпочтительнее z, то существует комбинация z и x, которая предпочтительнее y.
• Монотонность — если x содержит больше всех товаров, чем y, то x предпочтительнее y.
• Архимедовость — если x предпочтительнее y, а y предпочтительнее z, то существует доля, при которой смесь x и z предпочтительнее y.

Если предпочтения удовлетворяют этим аксиомам, то существует функция полезности U, такая что x предпочтительнее y тогда и только тогда, когда U(x) ≥ U(y).

¶Классификация

Полезные модели классифицируются по нескольким критериям:

¶По типу предпочтений

• Аддитивные — полезность суммируется по товарам: U(x) = Σ uᵢ(xᵢ).
• Мультипликативные — полезность является произведением полезностей отдельных товаров.
• Кобб-Дугласа — U(x) = Π xᵢ^αᵢ, где αᵢ — параметры, сумма которых равна единице.
• Леонтьева — U(x) = min{αᵢxᵢ} — товары являются идеальными комплементами.
• Линейные — U(x) = Σ αᵢxᵢ — товары являются идеальными субститутами.

¶По числу аргументов

• Однофакторные — полезность зависит от одного товара или параметра.
• Многофакторные — полезность зависит от нескольких товаров или параметров.

¶По свойствам

• Ограниченные — полезность имеет конечную верхнюю границу.
• Неограниченные — полезность может расти неограниченно.
• Квазиконкавные — множество точек, где полезность не меньше заданного уровня, является выпуклым.
• Квазивыпуклые — множество точек, где полезность не больше заданного уровня, является выпуклым.

¶Устройство

Полезная модель в теории игр представляет собой функцию, которая каждому игроку сопоставляет действительное число, отражающее его предпочтения над исходами игры. Функция определена на множестве всех возможных исходов и удовлетворяет аксиомам полноты, транзитивности и непрерывности. В общем случае полезная модель может быть задана неявно — через систему предпочтений, а не явной формулой.

В теории игр полезная модель используется для определения равновесия Нэша: каждый игрок выбирает стратегию, максимизируя свою полезность, исходя из стратегий других игроков. Равновесие Нэша существует, если все полезные модели удовлетворяют аксиомам и множество стратегий конечно.

¶Применение

Полезные модели применяются в различных областях:

• Микроэкономика — для анализа потребительского выбора, теории спроса и предложения.
• Теория игр — для определения равновесий в стратегических играх.
• Финансы — для моделирования предпочтений инвесторов, оптимизации портфелей.
• Маркетинг — для анализа предпочтений потребителей, сегментации рынка.
• Политология — для моделирования голосования, принятия решений в коллективе.
• Информатика — для проектирования систем рекомендаций, искусственного интеллекта.

¶Критика

Основная критика полезных моделей связана с их нормативным характером: аксиомы описывают идеализированное рациональное поведение, которое не всегда соответствует реальному. Эксперименты Даниэля Канемана и Амоса Тверски показали, что люди систематически нарушают аксиомы транзитивности и полноты, совершая иллюзии выбора и подвергаясь влиянию формулировок задач. Кроме того, полезные модели предполагают, что предпочтения индивида устойчивы и не меняются со временем, что также не всегда соответствует действительности.

Несмотря на критику, полезные модели остаются фундаментальным инструментом экономического анализа и теории игр, обеспечивая математическую строгость при анализе рационального выбора.

¶Источники

• Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.
• Харсани Дж. Теория игр. — М.: Мир, 1974.
• Мас-Колелл А., Уинстон М., Грин Дж. Микроэкономическая теория. — М.: ЮНИТИ, 1997.
• Канеман Д., Тверски А. Перспективная теория: анализ решения в условиях риска // Вопросы экономики. — 1994. — № 3.
• Аристотель. Никомахова этика. — М.: Наука, 1986.