Потенциал Вудса — Саксона

Потенциал Вудса — Саксона — это эмпирическая модель потенциальной энергии, описывающая взаимодействие между нуклоном (протоном или нейтроном) и атомным ядром. В ядерной физике она используется для аппроксимации среднего поля, в котором движутся нуклоны внутри ядра, и является одной из наиболее распространённых форм ядерного потенциала. Потенциал назван в честь американских физиков Роджера Вудса и Дэвида Саксона, которые в 1954 году предложили его функциональную форму.

История

До середины XX века для описания ядерных сил использовались упрощённые модели, такие как прямоугольная потенциальная яма. Однако они не учитывали размытость границы ядра и плавное изменение плотности ядерного вещества. В 1954 году Роджер Вудс и Дэвид Саксон из Массачусетского технологического института опубликовали статью, в которой предложили потенциал, основанный на распределении Ферми — Дирака. Эта форма позволяла более точно описывать экспериментальные данные по рассеянию нуклонов на ядрах и свойствам ядерных состояний.

Потенциал Вудса — Саксона быстро стал стандартным инструментом в ядерной физике, особенно в рамках оболочечной модели ядра, где он используется для расчёта одночастичных уровней энергии. Впоследствии модель была расширена для учёта спин-орбитального взаимодействия и деформации ядер.

Математическая формулировка

Потенциал Вудса — Саксона в радиальной форме записывается как:

\[ V(r) = -\frac{V_0}{1 + \exp\left(\frac{r - R}{a}\right)} \]

где:

• \( r \) — расстояние от центра ядра;
• \( V_0 \) — глубина потенциала (обычно около 50–60 МэВ для нуклонов);
• \( R \) — радиус ядра, часто аппроксимируемый как \( R = r_0 A^{1/3} \), где \( A \) — массовое число, а \( r_0 \approx 1.2 \) фм;
• \( a \) — параметр диффузности (размытости границы), обычно около 0.5–0.7 фм.

Функция представляет собой сигмоиду: при \( r \ll R \) потенциал близок к \(-V_0\), а при \( r \gg R \) экспоненциально стремится к нулю. Переход происходит в области толщиной порядка \( a \), что моделирует размытую границу ядра.

Спин-орбитальная поправка

Для учёта спин-орбитального взаимодействия (эффекта, ответственного за магические числа ядер) потенциал дополняется членом:

\[ V_{SO}(r) = -V_{SO} \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( \frac{1}{1 + \exp\left(\frac{r - R}{a}\right)} \right) \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \]

где \( \mathbf{L} \) и \( \mathbf{S} \) — операторы орбитального и спинового моментов, а \( V_{SO} \) — константа (около 10–20 МэВ·фм²). Этот член существенно влияет на расщепление уровней энергии.

Физическая интерпретация

Потенциал Вудса — Саксона описывает среднее поле, создаваемое всеми нуклонами ядра. Его форма отражает распределение ядерной плотности, которая также следует распределению Ферми — Дирака. Параметры \( V_0 \), \( R \) и \( a \) подбираются так, чтобы воспроизводить экспериментальные данные, такие как:

• энергии связи нуклонов;
• сечения рассеяния;
• спектры возбуждённых состояний ядер.

Глубина потенциала \( V_0 \) зависит от энергии налетающей частицы и типа взаимодействия (нейтрон-ядерное или протон-ядерное). Для протонов дополнительно учитывается кулоновский потенциал, который для сферического ядра с зарядом \( Ze \) равен:

\[ V_C(r) = \begin{cases} \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{3 - (r/R)^2}{2R}, & r \le R \\ \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}, & r > R \end{cases} \]

Применение

Оболочечная модель ядра

Потенциал Вудса — Саксона является основой для расчёта одночастичных уровней в оболочечной модели ядра. Решение уравнения Шрёдингера с этим потенциалом позволяет предсказать магические числа (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126), которые соответствуют полностью заполненным оболочкам. Без спин-орбитальной поправки потенциал Вудса — Саксона даёт лишь приближённые значения, но с её добавлением точность значительно возрастает.

Рассеяние нуклонов

Потенциал используется для анализа упругого и неупругого рассеяния нуклонов на ядрах. В оптической модели ядра он описывает как поглощение, так и рассеяние частиц, причём параметры \( V_0 \) и \( a \) могут зависеть от энергии. Для тяжёлых ядер (например, свинца-208) потенциал Вудса — Саксона хорошо воспроизводит угловые распределения рассеянных частиц.

Деформированные ядра

Для ядер, не имеющих сферической формы (например, актиноиды), потенциал Вудса — Саксона обобщается на случай аксиальной симметрии. В этом случае радиус \( R \) заменяется на \( R(\theta) = R_0 (1 + \beta_2 Y_{20}(\theta) + \beta_4 Y_{40}(\theta) + \ldots) \), где \( \beta_2 \) и \( \beta_4 \) — параметры квадрупольной и гексадекапольной деформации. Такая модификация позволяет изучать спектры вращательных и колебательных состояний.

Сравнение с другими моделями

Потенциал Вудса — Саксона имеет преимущество перед прямоугольной ямой благодаря плавной границе, что лучше соответствует реальному распределению ядерной плотности. Однако он уступает по точности более сложным моделям, таким как:

• потенциал Хартри — Фока (самосогласованное поле);
• потенциал Скирма (эффективное нуклон-нуклонное взаимодействие);
• релятивистские модели (на основе уравнений Дирака).

Тем не менее, благодаря простоте и вычислительной эффективности, потенциал Вудса — Саксона остаётся популярным в прикладных расчётах, особенно в задачах, где требуется быстрое моделирование.

Критика и ограничения

Основной недостаток потенциала Вудса — Саксона — его эмпирический характер. Параметры \( V_0 \), \( R \) и \( a \) подбираются под конкретные ядра и энергии, что ограничивает предсказательную силу модели. Для лёгких ядер (с массовым числом менее 20) потенциал часто даёт неточные результаты из-за сильных квантовых флуктуаций. Кроме того, модель не учитывает парные корреляции нуклонов (например, эффекты спаривания), которые важны для описания чётно-чётных ядер.

Интересные факты

• Потенциал Вудса — Саксона иногда называют «потенциалом Ферми» из-за его математической формы, напоминающей распределение Ферми — Дирака.
• В 1950-х годах модель позволила впервые количественно объяснить магические числа ядер, что стало важным шагом к созданию оболочечной модели Марии Гёпперт-Майер и Ханса Йенсена, получивших за это Нобелевскую премию по физике в 1963 году.
• Параметр диффузности \( a \) для большинства ядер составляет около 0.55 фм, что соответствует толщине поверхностного слоя примерно 2.4 фм (от 10% до 90% плотности).

Источники

• Woods R. D., Saxon D. S. Diffuse Surface Optical Model for Nucleon-Nuclei Scattering // Physical Review. — 1954. — Vol. 95, № 2. — P. 577–578.
• Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Том 1: Движение нуклонов. — М.: Мир, 1971. — 456 с.
• Фрауэнфельдер Г., Хенли Э. Субатомная физика. — М.: Мир, 1979. — 736 с.
• Капитонов И. М. Введение в физику ядра и частиц. — М.: УРСС, 2002. — 384 с.