Правило Лопиталя¶

Правило Лопиталя — метод вычисления предела неопределённого вида 0/0 или ∞/∞, основанный на применении производных числителя и знаменателя. Правило названо в честь французского математика Гийома де Лопиталя (1661–1704), опубликовавшего его в 1696 году в трактате «Анализ бесконечно малых для понимания кривых». Формулировка правила: если предел отношения двух функций f(x)/g(x) при x → a является неопределённостью вида 0/0 или ∞/∞, и если в некоторой проколотой окрестности точки a существуют производные f′(x) и g′(x), причём g′(x) ≠ 0, а предел f′(x)/g′(x) существует (конечен или равен ±∞), то предел отношения исходных функций равен пределу отношения производных:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

¶История

Правило впервые опубликовано Гийомом де Лопиталем в 1696 году в его фундаментальном труде «Анализ бесконечно малых для понимания кривых» («Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes») — первом в мире учебнике по математическому анализу. Исторически считается, что само правило было открыто швейцарским математиком Иоганном Бернулли, который был наставником Лопиталя и, по заключённому между ними соглашению, передал ему право на публикацию этого результата. В 1998 году математик и историк науки Катрин Гольдстейн (Catherine Goldstein) опубликовала исследование, показавшее, что в трактате Лопиталя правило сформулировано в более общей форме, чем обычно цитируется, и охватывает не только случай 0/0, но и ряд других неопределённостей.

¶Условия применения

Для корректного применения правила Лопиталя необходимо выполнение ряда условий:

1. В точке a (или при x → ∞) отношение f(x)/g(x) действительно является неопределённостью вида 0/0 или ∞/∞.
2. Функции f и g дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки a.
3. Производная знаменателя g′(x) ≠ 0 в этой окрестности.
4. Существует (конечен или равен ±∞) предел отношения производных f′(x)/g′(x).

Если хотя бы одно из условий не выполняется, правило неприменимо, и результат, полученный его формальным применением, может оказаться неверным.

¶Примеры

¶Случай 0/0

Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$. Обе функции обращаются в нуль при x → 0, поэтому применимо правило Лопиталя:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1.$$

¶Случай ∞/∞

Рассмотрим предел $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$. При x → +∞ числитель и знаменатель обращаются в бесконечность. Применяя правило Лопиталя:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0.$$

¶Многократное применение

Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ правило применяется дважды: сначала получаем $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$, а затем — $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$.

¶Обобщения и ограничения

Правило Лопиталя допускает обобщение на случай комплексных функций, а также на пределы вида 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0^0 и ∞^0 — эти неопределённости приводятся к дробному виду и затем решаются методом Лопиталя или берутся логарифмы.

Правило не является универсальным: существуют примеры, когда предел отношения функций существует, а предел отношения производных — нет. Например, для функций f(x) = x + sin(x)·cos(x) и g(x) = x, предел f/g = 1 при x → +∞, но отношение производных f′/g′ = 1 + cos(2x) не имеет предела. В таких случаях правило неприменимо, хотя исходный предел может быть вычислен другими методами.

¶Значение

Правило Лопиталя является одним из стандартных инструментов математического анализа и входит в обязательный курс высшей математики в вузах России. Оно широко применяется при вычислении пределов, построении асимптотик, решении задач на сходимость рядов и в задачах теории вероятностей.

¶Источники

• Лопиталь Г. де. Анализ бесконечно малых для понимания кривых. — 1696.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Наука.
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа. — М.: Наука.
• Goldstein C. The Analysis of the Infinitely Small: L'Hospital's Traité... // Archive for History of Exact Sciences. — 1998.
• Сборник задач по математическому анализу / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука.