Предел в математике¶

Предел — одно из фундаментальных понятий математического анализа, описывающее поведение последовательности или функции при приближении аргумента к некоторой точке или при стремлении аргумента к бесконечности. Интуитивно предел выражает значение, к которому неограниченно приближается переменная величина, но которого может и не достигать. Формальное определение предела лежит в основе дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов, топологии и функционального анализа.

¶История понятия

Отдельные приёмы, равносильные вычислению пределов, применялись ещё в античности. Метод исчерпывания, использованный Евдоксом Книдским и Архимедом для вычисления площадей и объёмов, фактически опирался на предельный переход. В XVII веке Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц создали исчисление бесконечно малых, однако пользовались понятием «бесконечно малой величины» без строгого определения.

Строгая теория пределов была построена в XIX веке. Огюстен Луи Коши ввёл определение предела через неравенства, а Карл Вейерштрасс придал ему современную форму с использованием кванторов («ε — δ»). Бернард Больцано независимо пришёл к близким идеям. В России значительный вклад в развитие анализа и теории пределов внесли Николай Лобачевский, Остроградский и позже Николай Лузин и его школа теории функций.

¶Предел последовательности

Число a называется пределом числовой последовательности {xₙ}, если для любого положительного числа ε существует такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |xₙ − a| < ε. Обозначение: lim xₙ = a при n → ∞.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся; в противном случае — расходящейся. Сходящаяся последовательность всегда ограничена, но не всякая ограниченная последовательность сходится. Пример: последовательность 1, 1/2, 1/3, … сходится к нулю; последовательность 1, −1, 1, −1, … предела не имеет.

¶Предел функции

Предел функции f(x) в точке x₀ равен числу L, если значения функции сколь угодно близки к L при условии, что x достаточно близок к x₀, но не равен ему. Определение по Коши — Вейерштрассу:

для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что из 0 < |x − x₀| < δ следует |f(x) − L| < ε.

Различают односторонние пределы: предел слева (x → x₀⁻) и предел справа (x → x₀⁺). Предел существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны. Рассматривают также пределы при стремлении аргумента к бесконечности и бесконечные пределы.

¶Свойства пределов

Для сходящихся последовательностей и функций справедливы основные свойства:

• единственность: предел, если он существует, единственен;
• линейность: предел суммы и произведения на константу равен сумме пределов и произведению константы на предел;
• предел произведения равен произведению пределов;
• предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю;
• предельный переход сохраняет нестрогие неравенства.

¶Замечательные пределы

В анализе выделяют два классических предела, широко применяемых при вычислениях:

Второй предел определяет число Эйлера e — основание натуральных логарифмов.

¶Непрерывность и производная

Функция называется непрерывной в точке, если её предел в этой точке равен значению функции в самой точке. Производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Таким образом, понятие предела является базой для всего дифференциального исчисления.

¶Применение

Понятие предела используется при:

• вычислении производных и интегралов;
• исследовании сходимости числовых и функциональных рядов;
• анализе поведения функций, поиске асимптот;
• решении задач оптимизации и приближённых вычислений;
• описании непрерывных процессов в физике, экономике, технике.

Определённый интеграл Римана сам определяется как предел интегральных сумм, что связывает предельный переход с задачами вычисления площадей, объёмов и работы.

¶Обобщения

В топологии и функциональном анализе понятие предела обобщается на произвольные метрические и топологические пространства, где вместо модуля разности используется расстояние или система окрестностей. В теории множеств рассматривают предел последовательности множеств, в теории вероятностей — сходимость по вероятности и сходимость почти наверное. Существуют также понятия верхнего и нижнего предела, обобщающие поведение расходящихся ограниченных последовательностей.

¶Значение

Предел служит связующим звеном между дискретным и непрерывным, между конечным и бесконечным. Строгое определение предела позволило превратить математический анализ из совокупности интуитивных приёмов в стройную дедуктивную дисциплину и стало образцом для формализации других математических понятий.

Источники: учебники по математическому анализу, классические работы Коши и Вейерштрасса, энциклопедические математические словари.