Пространство анти-де Ситтера¶

Пространство анти-де Ситтера (AdS, от англ. anti-de Sitter) — это однородное лоренцево многообразие постоянной отрицательной кривизны, являющееся решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной. В отличие от пространства де Ситтера (положительная кривизна), AdS обладает гиперболической геометрией и играет ключевую роль в теоретической физике, в частности в AdS/CFT-соответствии (голографическом принципе) и в моделях квантовой гравитации.

¶История

Пространство анти-де Ситтера было впервые описано в 1920-х годах в работах голландского математика Виллема де Ситтера, который изучал решения уравнений общей теории относительности с космологической постоянной. Де Ситтер предложил два типа пространств: с положительной кривизной (пространство де Ситтера) и с отрицательной кривизной (анти-де Ситтер). В 1930-х годах советский физик Александр Фридман независимо рассматривал решения с отрицательной кривизной в контексте космологии.

Интерес к AdS резко возрос в конце 1990-х годов после открытия Хуана Малдасены (Аргентина) AdS/CFT-соответствия, которое связывает теорию струн в пространстве анти-де Ситтера с конформной теорией поля на его границе. Это открытие привело к активному изучению AdS в рамках квантовой гравитации и теории струн.

¶Математическое определение

Пространство анти-де Ситтера можно определить как гиперболоид в (n+1)-мерном пространстве Минковского с сигнатурой (2, n-1). Для (n+1)-мерного пространства анти-де Ситтера (AdS_{n+1}) уравнение имеет вид:

\[ X_0^2 + X_1^2 - \sum_{i=2}^{n} X_i^2 = L^2, \]

где \(L\) — радиус кривизны, связанный с космологической постоянной \(\Lambda\) соотношением \(\Lambda = -n(n-1)/(2L^2)\). Это пространство является максимально симметричным решением уравнений Эйнштейна с отрицательной \(\Lambda\).

¶Свойства симметрии

Группа изометрий пространства AdS_{n+1} — это \(SO(2, n)\), что делает его однородным и изотропным. В отличие от пространства де Ситтера, AdS не является глобально гиперболическим: оно содержит замкнутые времениподобные кривые, что приводит к проблемам с причинностью. Однако в физике обычно рассматривают универсальное накрытие пространства AdS, где эти кривые устраняются.

¶Геометрия и топология

Пространство анти-де Ситтера имеет топологию \(S^1 \times \mathbb{R}^n\), где \(S^1\) — временная окружность. В универсальном накрытии временная координата разворачивается в прямую \(\mathbb{R}\), что даёт топологию \(\mathbb{R}^{n+1}\). Метрика AdS в глобальных координатах записывается как:

\[ ds^2 = -\cosh^2 \rho \, dt^2 + d\rho^2 + \sinh^2 \rho \, d\Omega_{n-1}^2, \]

где \(t\) — время, \(\rho\) — радиальная координата, а \(d\Omega_{n-1}^2\) — метрика на (n-1)-мерной сфере. При \(\rho \to \infty\) метрика приближается к конформной границе, которая является пространством Минковского или его конформной компактификацией.

¶Физические свойства

¶Отрицательная космологическая постоянная

AdS является решением уравнений Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной \(\Lambda < 0\). В общей теории относительности это приводит к тому, что пространство-время имеет тенденцию к «сжатию»: геодезические сходятся, а не расходятся, как в пространстве де Ситтера. В космологии отрицательная \(\Lambda\) соответствует антигравитации, но в AdS она проявляется как притягивающая сила на больших расстояниях.

¶Причинная структура

В отличие от пространства Минковского, AdS имеет временноподобную границу на бесконечности. Это означает, что световые сигналы могут достигать границы за конечное время, что приводит к необходимости задания граничных условий для физических полей. В универсальном накрытии причинность восстанавливается, но остаётся особенность: информация может распространяться от границы к границе за конечное время.

¶Применение в физике

¶AdS/CFT-соответствие

Наиболее известное применение пространства анти-де Ситтера — в AdS/CFT-соответствии, также называемом голографическим принципом. Это соответствие утверждает, что теория квантовой гравитации в (n+1)-мерном пространстве AdS эквивалентна конформной теории поля (CFT) на его n-мерной границе. Например, теория струн в AdS_5 × S^5 соответствует N=4 суперсимметричной теории Янга — Миллса в четырёх измерениях. Это соответствие используется для изучения сильновзаимодействующих квантовых систем, таких как кварк-глюонная плазма, и для исследования чёрных дыр в квантовой гравитации.

¶Чёрные дыры в AdS

Пространство AdS допускает решения типа чёрных дыр, например, чёрную дыру Шварцшильда — анти-де Ситтера. Такие чёрные дыры имеют термодинамические свойства, включая температуру Хокинга и энтропию, и играют важную роль в голографических моделях. В AdS/CFT чёрная дыра соответствует термализованному состоянию в CFT, что позволяет изучать фазовые переходы и динамику сильновзаимодействующих систем.

¶Космология

Хотя наша Вселенная в настоящее время описывается пространством де Ситтера с положительной космологической постоянной, AdS используется в моделях инфляционной космологии и в теориях, где отрицательная \(\Lambda\) возникает на ранних этапах эволюции. Например, в модели «AdS-пузыря» рассматриваются переходы между различными вакуумами.

¶Классификация

Пространства анти-де Ситтера классифицируются по размерности:

• AdS_2 — двумерное пространство, используемое в моделях квантовой гравитации в двух измерениях.
• AdS_3 — трёхмерное пространство, которое является решением трёхмерной гравитации и связано с BTZ-чёрными дырами (названы по именам Максимилиано Банадо, Клаудио Тейтельбойма и Хорхе Занелли). В AdS_3 группа изометрий \(SO(2,2)\) локально изоморфна \(SL(2,\mathbb{R}) \times SL(2,\mathbb{R})\).
• AdS_4 — четырёхмерное пространство, часто используемое в моделях квантовой гравитации и в AdS/CFT для трёхмерных CFT.
• AdS_5 — пятимерное пространство, центральное в исходном AdS/CFT-соответствии Малдасены, где оно связано с четырёхмерной CFT.

¶Интересные факты

• Пространство анти-де Ситтера является решением уравнений Эйнштейна без материи, но с космологической постоянной. В отличие от пространства Минковского, оно не является плоским: его кривизна постоянна и отрицательна.
• В AdS возможно существование замкнутых времениподобных кривых, что нарушает причинность. Однако в универсальном накрытии эта проблема устраняется, и физики обычно работают именно с ним.
• AdS/CFT-соответствие часто называют «голографическим принципом», так как оно предполагает, что вся информация о трёхмерной гравитации может быть закодирована на двумерной границе.
• В 2020-х годах AdS используется для моделирования квантовых систем, таких как сверхпроводники и квантовые жидкости, через голографическую дуальность.

¶Критика

Несмотря на широкое применение, пространство анти-де Ситтера имеет ограничения. Во-первых, оно не описывает нашу Вселенную, которая имеет положительную космологическую постоянную. Во-вторых, AdS/CFT-соответствие строго доказано только для суперсимметричных теорий и не обобщается на реалистичные модели. Некоторые физики, такие как Стивен Хокинг (Великобритания), критиковали AdS за его нефизичность, хотя признавали его математическую полезность.

¶Источники

• Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. — М.: Мир, 1977.
• Малдасена Х. Границы AdS и голографическая дуальность // Успехи физических наук. — 2000. — Т. 170, № 10.
• Бенгтссон И. Пространства анти-де Ситтера и AdS/CFT-соответствие // Лекции по квантовой гравитации. — 2015.
• Уильям Б. Теория струн и голографическая дуальность. — Princeton University Press, 2005.