Пространство-время Шварцшильда

Пространство-время Шварцшильда — это точное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна, описывающее гравитационное поле, создаваемое сферически-симметричным невращающимся телом с массой, не обладающим электрическим зарядом. Данное решение является простейшей моделью чёрной дыры и представляет собой статическое, асимптотически плоское пространство-время. Оно было найдено Карлом Шварцшильдом в 1916 году, всего через несколько месяцев после публикации Эйнштейном окончательной версии уравнений общей теории относительности.

История открытия

В конце 1915 года Альберт Эйнштейн представил полевые уравнения общей теории относительности, связывающие геометрию пространства-времени с распределением материи и энергии. Уже в декабре того же года Карл Шварцшильд, работавший в то время в Потсдамской обсерватории, отправил Эйнштейну письмо с первым точным решением этих уравнений. Шварцшильд рассматривал задачу о гравитационном поле точечной массы или однородного шара.

Решение было получено в сферических координатах и впервые опубликовано в 1916 году в «Трудах Прусской академии наук». Шварцшильд скончался в том же году от болезни, полученной на фронтах Первой мировой войны. Его работа заложила основу для понимания гравитационного коллапса и чёрных дыр, хотя полное осознание физических следствий решения пришло лишь несколько десятилетий спустя.

Метрика Шварцшильда

Метрика (интервал) пространства-времени Шварцшильда в сферических координатах \( (t, r, \theta, \phi) \) записывается следующим образом:

\[ ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \]

Здесь:

• \(c\) — скорость света в вакууме;
• \(G\) — гравитационная постоянная;
• \(M\) — масса центрального тела;
• \(r_s = 2GM/c^2\) — гравитационный радиус (радиус Шварцшильда);
• \(t\) — временная координата (время на бесконечности);
• \(r\) — радиальная координата (окружностная координата, не равная физическому расстоянию);
• \(\theta, \phi\) — угловые координаты.

Метрика является статической (не зависит от времени \(t\)) и сферически-симметричной (не зависит от углов). Она асимптотически переходит в метрику Минковского (плоское пространство-время специальной теории относительности) при \(r \to \infty\).

Гравитационный радиус (радиус Шварцшильда)

Ключевой параметр метрики — гравитационный радиус \(r_s\). Для тела массой \(M\) он определяется как:

\[ r_s = \frac{2GM}{c^2} \]

Для Солнца \(r_s ≈ 3\) км, для Земли — около 9 мм. Если тело сжать до размеров, меньших его гравитационного радиуса, оно становится чёрной дырой. В этом случае на расстоянии \(r = r_s\) возникает горизонт событий — граница, за которой никакая информация или материя не может вернуться во внешнюю область.

Сингулярности

В метрике Шварцшильда существуют две сингулярности (точки, где метрика становится неопределённой):

1. Координатная сингулярность на \(r = r_s\): В исходных координатах Шварцшильда метрические коэффициенты расходятся (знаменатель обращается в ноль). Однако это не физическая сингулярность, а лишь особенность системы координат. Падающий наблюдатель пересекает горизонт событий за конечное собственное время без каких-либо катастрофических эффектов. Для устранения этой сингулярности были разработаны другие системы координат (например, координаты Эддингтона — Финкельштейна или Крускала — Секереша).

1. Физическая (истинная) сингулярность на \(r = 0\): В центре чёрной дыры кривизна пространства-времени и плотность энергии становятся бесконечными. Это настоящая сингулярность, которая не может быть устранена сменой координат. В этой точке классическая общая теория относительности перестаёт работать, и требуется теория квантовой гравитации.

Физические следствия

Гравитационное красное смещение

Частота света, испущенного источником вблизи массивного тела, уменьшается (краснеет) при наблюдении из удалённой области. Для метрики Шварцшильда красное смещение \(z\) для источника на радиусе \(r\) и наблюдателя на бесконечности равно:

\[ z = \frac{1}{\sqrt{1 - r_s/r}} - 1 \]

При \(r \to r_s\) красное смещение стремится к бесконечности — свет от источника, находящегося на горизонте, никогда не достигнет внешнего наблюдателя.

Замедление времени

Вблизи массивного тела время течёт медленнее, чем вдали от него. Для неподвижного наблюдателя на радиусе \(r\) интервал собственного времени \(d\tau\) связан с координатным временем \(dt\) соотношением:

\[ d\tau = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \, dt \]

На горизонте событий (\(r = r_s\)) собственное время для внешнего наблюдателя останавливается.

Орбиты в пространстве-времени Шварцшильда

Движение пробных тел (частиц и фотонов) в поле Шварцшильда описывается геодезическими линиями. В отличие от ньютоновской гравитации, общая теория относительности предсказывает:

• Смещение перигелия: Эллиптические орбиты медленно поворачиваются. Это явление было экспериментально подтверждено для Меркурия (43 угловые секунды в столетие) и стало одним из первых триумфов общей теории относительности.
• Отклонение света: Луч света, проходящий вблизи массивного тела, искривляется. Угол отклонения для луча, проходящего на расстоянии \(b\) от центра тела, равен \(\Delta \phi = 4GM/(c^2 b)\). Это было подтверждено во время солнечного затмения 1919 года.
• Последняя устойчивая круговая орбита (ISCO): Для массивных частиц устойчивые круговые орбиты существуют только при \(r > 3r_s\). При \(r = 3r_s\) находится последняя устойчивая круговая орбита (ISCO — innermost stable circular orbit). Ниже этого радиуса частица неизбежно падает на чёрную дыру.
• Фотонная сфера: Фотоны могут двигаться по круговым орбитам только на расстоянии \(r = 1.5 r_s\). Эти орбиты неустойчивы — малейшее возмущение заставляет фотон либо упасть на чёрную дыру, либо улететь в бесконечность.

Обобщения и связь с другими решениями

Пространство-время Шварцшильда является частным случаем более общих решений уравнений Эйнштейна:

• Метрика Рейсснера — Нордстрёма: Описывает чёрную дыру с электрическим зарядом, но без вращения.
• Метрика Керра: Описывает вращающуюся чёрную дыру (без заряда). Это наиболее реалистичная модель для астрофизических чёрных дыр.
• Метрика Керра — Ньюмена: Описывает вращающуюся и заряженную чёрную дыру.

Значение в астрофизике

Решение Шварцшильда является фундаментальной моделью для описания невращающихся чёрных дыр. Хотя большинство астрофизических чёрных дыр, вероятно, вращаются, метрика Шварцшильда часто используется как первое приближение для понимания их свойств. Она лежит в основе расчётов аккреционных дисков, гравитационного линзирования и динамики звёзд вблизи сверхмассивных чёрных дыр в центрах галактик.

Например, наблюдения за движением звёзд вокруг сверхмассивной чёрной дыры в центре нашей Галактики (объект Стрелец A*) хорошо согласуются с предсказаниями метрики Шварцшильда для точечной массы.

Интересные факты

• Карл Шварцшильд получил своё решение, находясь на фронте Первой мировой войны, где он служил в звании лейтенанта и занимался расчётами артиллерийских траекторий.
• Термин «чёрная дыра» был введён Джоном Уилером в 1967 году, хотя сам объект был предсказан решением Шварцшильда за полвека до этого.
• Внутренность чёрной дыры Шварцшильда (область \(r < r_s\)) нестационарна: радиальная координата \(r\) становится времениподобной, а время \(t\) — пространственноподобной. Это означает, что движение внутрь чёрной дыры неизбежно, как движение в будущее.

Источники

• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften.
• Мизнер, Ч., Торн, К., Уилер, Дж. (1977). Гравитация. Том 2. Мир.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. (1973). Теория поля. Наука.
• Frolov, V. P., & Novikov, I. D. (1998). Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments. Springer.