Распределение Максвелла

Распределение Максвелла (также распределение Максвелла по скоростям) — это функция распределения вероятностей, описывающая распределение молекул идеального газа по модулям их скоростей в состоянии термодинамического равновесия. Впервые получено Джеймсом Клерком Максвеллом в 1859 году в рамках статистической механики. Распределение является следствием молекулярно-кинетической теории и справедливо для классических (нерелятивистских) систем, где квантовыми эффектами можно пренебречь. Оно задаёт долю молекул, скорость которых лежит в определённом интервале, и зависит от температуры газа и массы его частиц.

История открытия

В 1859 году, задолго до формального обоснования статистической физики, Джеймс Клерк Максвелл представил работу «Иллюстрации к динамической теории газов», в которой впервые вывел закон распределения молекул по скоростям. Он исходил из предположения о полной хаотичности движения частиц и отсутствии выделенных направлений (изотропии пространства). Максвелл использовал соображения симметрии и вероятностные аргументы, не прибегая к детальному анализу столкновений. В 1868 году Людвиг Больцман дал более строгий вывод распределения, основанный на кинетическом уравнении, которое теперь носит его имя (уравнение Больцмана). Распределение Максвелла стало одним из первых успешных применений статистических методов в физике и подтвердило молекулярную природу теплоты.

Основные положения

Предпосылки

Распределение Максвелла применимо к идеальному газу — системе, в которой:

• молекулы считаются материальными точками;
• взаимодействие между молекулами происходит только через упругие столкновения;
• газ находится в термодинамическом равновесии (температура постоянна);
• внешние силовые поля отсутствуют или пренебрежимо малы.

Функция распределения

Функция распределения Максвелла по модулю скорости \( v \) (от 0 до ∞) имеет вид:

\[ f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m}{kT} \right)^{3/2} v^2 \exp\left( -\frac{m v^2}{2kT} \right) \]

где:

• \( m \) — масса одной молекулы;
• \( k \) — постоянная Больцмана;
• \( T \) — абсолютная температура газа.

Функция \( f(v) \) нормирована на единицу: \( \int_0^\infty f(v) \, dv = 1 \). Она показывает плотность вероятности того, что случайно выбранная молекула имеет скорость в интервале от \( v \) до \( v+dv \).

Характерные скорости

Из распределения Максвелла можно получить три важные характерные скорости молекул:

1. Наиболее вероятная скорость \( v_p \) — скорость, при которой функция \( f(v) \) достигает максимума:

\[ v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} \] где \( R \) — универсальная газовая постоянная, \( M \) — молярная масса газа.

1. Средняя скорость \( \langle v \rangle \) — среднее арифметическое значение модуля скорости:

\[ \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \]

1. Средняя квадратичная скорость \( v_{rms} \) — корень из среднего квадрата скорости:

\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \]

Соотношение между ними: \( v_p : \langle v \rangle : v_{rms} = 1 : \sqrt{4/\pi} : \sqrt{3} \approx 1 : 1,128 : 1,225 \).

Зависимость от температуры и массы

С ростом температуры кривая распределения смещается в сторону больших скоростей и становится более пологой (максимум уменьшается, а ширина увеличивается). Для газов с большей молярной массой (например, для ксенона по сравнению с гелием) распределение сдвинуто в область меньших скоростей при той же температуре.

Вывод распределения

Из соображений симметрии (Максвелл)

Максвелл предположил, что распределение по компонентам скорости \( v_x, v_y, v_z \) независимо и имеет вид \( F(v_x) = A \exp(-\alpha v_x^2) \). Из условия изотропии и нормировки он получил, что совместная плотность вероятности для трёх компонент равна произведению гауссовых функций, а после перехода к сферическим координатам в пространстве скоростей — искомое распределение по модулю.

Из кинетического уравнения Больцмана

Больцман показал, что в равновесии функция распределения частиц по скоростям должна обращать в нуль интеграл столкновений. Решение этого уравнения даёт распределение Максвелла как единственное стационарное решение для классического газа без внешних полей.

Связь с другими распределениями

• Распределение Максвелла — Больцмана является обобщением, учитывающим наличие внешнего потенциального поля (например, гравитационного). В этом случае распределение по скоростям остаётся максвелловским, а распределение по координатам — больцмановским (\( \propto \exp(-U/kT) \)).
• Распределение Максвелла по энергиям — преобразование распределения по скоростям в распределение по кинетической энергии \( E = mv^2/2 \). Имеет вид:

\[ g(E) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{1}{(kT)^{3/2}} \sqrt{E} \exp\left(-\frac{E}{kT}\right) \]

• Распределение Максвелла — Джута — обобщение для систем с релятивистскими частицами (например, в плазме или астрофизике).

Экспериментальная проверка

Первое прямое экспериментальное подтверждение распределения Максвелла было получено в 1920 году Отто Штерном в опыте с молекулярными пучками. В эксперименте использовался вращающийся барабан с щелями, через который пропускался пучок атомов серебра. По распределению осаждённых атомов на приёмнике определялось распределение по скоростям. Позднее, в 1955 году, более точные измерения были выполнены И. Эстерманом и О. Симпсоном с использованием метода времени пролёта. Современные эксперименты, например, с лазерным охлаждением и ловушками, подтверждают распределение Максвелла с высокой точностью для широкого диапазона температур и давлений.

Применение

В физике и химии

• Расчёт средней длины свободного пробега и коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии) в газах.
• Определение скоростей химических реакций — доля молекул, энергия которых превышает энергию активации, вычисляется через распределение Максвелла.
• Моделирование процессов в плазме и газовых разрядах.
• Астрофизика — описание распределения скоростей частиц в атмосферах звёзд и планет, в межзвёздной среде.

В технике

• Вакуумная техника — расчёт производительности насосов и течения газов в трубопроводах.
• Аэродинамика — оценка тепловых потоков при входе космических аппаратов в атмосферу.
• Масс-спектрометрия — интерпретация спектров и калибровка приборов.

Границы применимости

Распределение Максвелла перестаёт быть точным в следующих случаях:

• Квантовые газы — при низких температурах и высоких плотностях, когда становятся существенными квантово-статистические эффекты. Для бозонов (например, гелия-4) применяется распределение Бозе — Эйнштейна, для фермионов (электроны в металле) — распределение Ферми — Дирака.
• Сильные внешние поля — распределение по скоростям может искажаться (например, в ускорителях или в гравитационных полях с большим градиентом).
• Неравновесные процессы — в газе с градиентами температуры или давления (например, в ударных волнах) распределение Максвелла не выполняется локально.

Интересные факты

• Максвелл вывел распределение, не имея в то время экспериментальных данных о скоростях молекул — это был чисто теоретический результат.
• Распределение Максвелла является частным случаем распределения хи-квадрат с тремя степенями свободы (для квадрата скорости).
• В 1866 году Людвиг Больцман показал, что распределение Максвелла является следствием второго начала термодинамики и принципа равной вероятности микросостояний.
• Доля молекул, скорость которых превышает некоторое значение \( v_0 \), вычисляется через интеграл от \( f(v) \) и выражается через дополнительную функцию ошибок (erfc).

Источники

• Дж. К. Максвелл. Иллюстрации к динамической теории газов. — 1859.
• Л. Больцман. Лекции по теории газов. — 1896.
• Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Том 4. — М.: Мир, 1967.
• Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика. Часть 1. — М.: Наука, 1976.
• И. В. Савельев. Основы теоретической физики. Том 1. — М.: Наука, 1977.