Рубен Гудстейн

Рубен Гудстейн (англ. Reuben Louis Goodstein; 15 декабря 1912, Лондон — 8 марта 1985, Лестер) — британский математик и философ, известный прежде всего формулировкой теоремы Гудстейна, а также работами в области математической логики, оснований математики и рекурсивных функций.

Биография

Рубен Луис Гудстейн родился в Лондоне в еврейской семье. Он получил образование в колледже Святого Иоанна Кембриджского университета, где его научным руководителем был Людвиг Витгенштейн. Под влиянием Витгенштейна Гудстейн заинтересовался философскими основаниями математики и логики.

В 1935 году он получил степень доктора философии за диссертацию, посвящённую анализу математических доказательств. В 1940 году Гудстейн начал преподавать в Университетском колледже Лестера (ныне Лестерский университет), где проработал до выхода на пенсию в 1978 году. В 1951 году он стал профессором математики, а в 1955 году — первым деканом факультета естественных наук.

В 1960 году Гудстейн основал журнал Journal of Symbolic Logic, который стал одним из ведущих изданий в области математической логики. Он также был активным членом Британского общества истории математики.

Научные достижения

Теорема Гудстейна

Основное научное достижение Гудстейна — теорема Гудстейна, сформулированная и доказанная им в 1944 году. Теорема относится к теории чисел и утверждает, что для любого натурального числа существует последовательность Гудстейна, которая в конечном счёте достигает нуля, независимо от начального значения.

Последовательность Гудстейна строится следующим образом:

1. Начальное число записывается в системе счисления с основанием 2, где все показатели степени также записываются в этой системе.
2. Затем все основания заменяются на 3, из результата вычитается 1, и получается следующее число.
3. Процесс повторяется: на каждом шаге основание увеличивается на 1, а из результата вычитается 1.

Несмотря на кажущуюся простоту, теорема нетривиальна: для малых начальных чисел последовательность быстро заканчивается, но для числа 4 она требует уже 3·2^402653211 − 3 шагов. Для числа 5 число шагов столь велико, что не может быть записано обычными средствами.

Теорема Гудстейна — пример утверждения, которое доказуемо в рамках теории множеств (например, с использованием аксиомы выбора), но недоказуемо в арифметике Пеано. Это было показано в 1982 году американским логиком Лори Кирби и британским математиком Джеффом Парисом. Таким образом, теорема Гудстейна стала одним из первых примеров «независимых» утверждений в арифметике, не связанных с формальными парадоксами.

Рекурсивные функции и формальная арифметика

Гудстейн внёс значительный вклад в теорию рекурсивных функций. Он разработал концепцию рекурсивной арифметики — формальной системы, в которой все функции являются рекурсивными. В работе «On the restricted recursive arithmetic» (1947) он показал, что многие классические теоремы арифметики могут быть доказаны в рамках этой системы.

Он также ввёл понятие рекурсивной истинности и исследовал связь между рекурсивными функциями и доказуемостью.

Философия математики

Под влиянием Витгенштейна Гудстейн занимался философскими вопросами математики. Он критиковал формалистский подход и выступал за интуиционистскую интерпретацию математических объектов. В работе «Mathematical logic» (1957) он изложил свои взгляды на природу математического доказательства и роль логики в математике.

Гудстейн также интересовался историей математики, в частности, работами Готлоба Фреге и Бертрана Рассела.

Основные труды

• «On the restricted recursive arithmetic» (1947)
• «Mathematical logic» (1957)
• «Recursive number theory: a development of recursive arithmetic in a logic-free equation calculus» (1957)
• «The philosophy of mathematics» (1965)

Признание и наследие

Теорема Гудстейна остаётся одним из самых известных результатов в теории чисел и математической логике. Она используется в учебных курсах для демонстрации ограничений формальных систем и важности аксиомы выбора. В честь учёного названа последовательность Гудстейна и функция Гудстейна.

В Лестерском университете учреждена стипендия имени Рубена Гудстейна для студентов, изучающих математику.

Интересные факты

• Теорема Гудстейна была впервые опубликована в 1944 году в журнале Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, но долгое время оставалась малоизвестной. Её значение было оценено лишь после работы Кирби и Париса.
• Для числа 3 последовательность Гудстейна завершается за 6 шагов, для числа 4 — за 3·2^402653211 − 3 шагов, что является числом с более чем 121 миллионом десятичных знаков.
• Гудстейн был одним из немногих математиков, которые активно применяли идеи Витгенштейна в математической логике.

Источники

• Goodstein, R. L. (1944). «On the restricted ordinal theorem». Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.
• Kirby, L.; Paris, J. (1982). «Accessible independence results for Peano arithmetic». Bulletin of the London Mathematical Society.
• Smoryński, C. (1983). «The varieties of arboreal experience». Mathematical Intelligencer.
• Некролог в The Times (1985).