S-матрица¶

S-матрица (матрица рассеяния, от англ. scattering matrix) — это оператор (матрица), описывающий переход квантовой системы из начального состояния до взаимодействия в конечное состояние после взаимодействия в процессах рассеяния частиц. В квантовой механике и квантовой теории поля S-матрица связывает асимптотические состояния частиц на бесконечности до и после столкновения, позволяя вычислять вероятности различных каналов реакций. Является одним из центральных понятий в физике элементарных частиц, ядерной физике и квантовой теории рассеяния.

¶История

¶Ранние представления

Идея описания рассеяния через матрицу перехода восходит к работам Джона Уилера (1937), который ввёл понятие «матрицы рассеяния» для описания ядерных реакций. Однако систематическое развитие концепции S-матрицы связано с именем Вернера Гейзенберга. В 1943 году Гейзенберг предложил использовать S-матрицу как фундаментальный объект теории, не требующий детального описания взаимодействия на малых расстояниях, что было особенно актуально в условиях отсутствия последовательной квантовой теории поля.

¶Развитие в 1950–1960-е годы

В послевоенные годы S-матрица стала основой для построения теории рассеяния в квантовой механике. Были сформулированы её основные свойства: унитарность, аналитичность и кроссинг-симметрия. В 1950-х годах Рудольф Пайерлс, Джеффри Чу и другие физики развили так называемую «S-матричную программу» — попытку построить теорию сильных взаимодействий, не используя понятие полей и частиц, а опираясь исключительно на свойства S-матрицы. Эта программа, хотя и не привела к созданию полной теории, стимулировала развитие методов дисперсионных соотношений и теории комплексных угловых моментов.

¶Современный этап

С появлением квантовой хромодинамики (КХД) и Стандартной модели в 1970-х годах S-матрица перестала быть первичным объектом теории, но сохранила ключевое значение как инструмент вычисления наблюдаемых величин (сечений, вероятностей распадов). В современных подходах S-матрица вычисляется в рамках теории возмущений (диаграммы Фейнмана) или с использованием не perturbative методов (например, решёточная КХД). В последние десятилетия S-матрица вновь привлекла внимание в контексте теории струн и амплитудных методов.

¶Определение и формализм

¶Основное определение

В квантовой механике S-матрица определяется как оператор, связывающий асимптотические состояния на временах \( t \to -\infty \) (начальное состояние \( |i\rangle \)) и \( t \to +\infty \) (конечное состояние \( |f\rangle \)): \[ |f_{\text{out}}\rangle = S |i_{\text{in}}\rangle. \] Элементы матрицы \( S_{fi} = \langle f| S |i \rangle \) дают амплитуду вероятности перехода из начального состояния \( i \) в конечное \( f \). Вероятность перехода пропорциональна квадрату модуля амплитуды: \( P_{i \to f} = |S_{fi}|^2 \).

¶Связь с T-матрицей

Часто S-матрицу записывают через T-матрицу (матрицу перехода), выделяя тривиальную часть, соответствующую отсутствию взаимодействия: \[ S = I + iT, \] где \( I \) — единичная матрица, а \( T \) — матрица, описывающая собственно рассеяние. Дифференциальное сечение рассеяния выражается через элементы T-матрицы.

¶Унитарность

Фундаментальное свойство S-матрицы — унитарность: \( S^\dagger S = SS^\dagger = I \). Это отражает сохранение полной вероятности: сумма вероятностей всех возможных конечных состояний равна 1. Унитарность накладывает ограничения на возможные амплитуды и приводит к оптической теореме, связывающей полное сечение рассеяния с мнимой частью амплитуды упругого рассеяния вперёд.

¶Свойства S-матрицы

¶Аналитичность

Предполагается, что элементы S-матрицы являются аналитическими функциями энергии и импульсов частиц, за исключением полюсов и разрезов, соответствующих связанным состояниям и порогам реакций. Это свойство лежит в основе дисперсионных соотношений, позволяющих восстанавливать амплитуды рассеяния по их мнимым частям.

¶Кроссинг-симметрия

S-матрица инвариантна относительно замены частицы на античастицу с переносом её из начального состояния в конечное (или наоборот) с соответствующим изменением знака энергии и импульса. Например, амплитуда рассеяния частицы A на частице B связана с амплитудой аннигиляции \( A + \bar{B} \) в другие частицы.

¶Лоренц-инвариантность

S-матрица должна быть инвариантна относительно преобразований Лоренца, что накладывает ограничения на её зависимость от кинематических переменных (мандельстамовские переменные \( s, t, u \)).

¶Применение

¶В квантовой теории поля

В квантовой теории поля S-матрица вычисляется с помощью формализма Лемана — Симанзика — Циммермана (LSZ-редукционная формула), которая связывает элементы S-матрицы с вакуумными средними хронологически упорядоченных произведений полей (функции Грина). На практике амплитуды рассеяния находят через диаграммы Фейнмана в рамках теории возмущений.

¶В ядерной физике

S-матрица используется для описания ядерных реакций, включая упругое и неупругое рассеяние, реакции слияния и деления. Для низкоэнергетических процессов применяется метод оптической модели, где S-матрица параметризуется через комплексные фазовые сдвиги.

¶В теории струн

В теории струн S-матрица является одним из основных объектов, поскольку струнные амплитуды рассеяния (например, амплитуда Венециано) обладают свойствами, обобщающими свойства точечных частиц. Современные амплитудные методы (например, метод БЧХ) активно используют S-матричные подходы.

¶В квантовой механике многих тел

S-матрица применяется для описания рассеяния частиц на потенциалах, а также в теории конденсированного состояния (например, в задаче Андерсона).

¶Критика и ограничения

S-матрица как фундаментальный объект теории подвергалась критике в рамках S-матричной программы 1960-х годов. Основные претензии:

• Не удалось построить последовательную теорию, не использующую понятия полей и частиц.
• Свойства аналитичности и кроссинг-симметрии не были строго доказаны для всех взаимодействий.
• В рамках Стандартной модели S-матрица является производным объектом, а не первичным.

Тем не менее, S-матрица остаётся незаменимым инструментом для вычисления наблюдаемых величин в физике высоких энергий и ядерной физике.

¶Интересные факты

• В 1960-х годах существовала гипотеза «ядерной демократии», согласно которой все частицы являются связанными состояниями друг друга, что описывалось через полюса S-матрицы.
• Оптическая теорема, вытекающая из унитарности S-матрицы, используется для измерения полных сечений в экспериментах на коллайдерах.
• В теории струн S-матрица для четырёх частиц (амплитуда Венециано) была открыта в 1968 году и стала одним из первых примеров дуальной модели.

¶См. также

• Квантовая теория рассеяния
• Амплитуда рассеяния
• Диаграммы Фейнмана
• Дисперсионные соотношения
• T-матрица

¶Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — М.: Наука, 1989.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984.
• Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001.
• Чу Д. Аналитическая теория S-матрицы. — М.: Мир, 1971.
• Eden R. J., Landshoff P. V., Olive D. I., Polkinghorne J. C. The Analytic S-Matrix. — Cambridge University Press, 1966.