Самые большие числа в математике

Большое число — в математике и смежных науках нестрогий термин, обозначающий число, значительно превышающее величины, типичные для повседневного использования или для рассматриваемого контекста. В зависимости от области применения граница «большого» числа может смещаться на много порядков: от миллиона в бытовых расчётах до чисел, для записи которых не хватает атомов наблюдаемой Вселенной.

Понятие величины и системы наименований

В разных культурах и исторических периодах существовали различные системы наименования больших чисел. Наиболее распространёнными в настоящее время являются две: короткая шкала (используется в России, США, Великобритании с 1974 года) и длинная шкала (используется в большинстве стран континентальной Европы, Латинской Америки).

В короткой шкале каждое следующее название (миллион, миллиард, триллион) получается умножением предыдущего на 1000. В длинной шкале названия соответствуют степеням миллиона: биллион — миллион во второй степени, триллион — в третьей. Из-за этого названия чисел в разных странах могут не совпадать: например, российский «биллион» — это 10⁹, а европейский «биллиард» — 10¹⁵.

В русском языке для чисел вида 10³ⁿ используются названия: тысяча (10³), миллион (10⁶), миллиард (10⁹), триллион (10¹²), квадриллион (10¹⁵), квинтиллион (10¹⁸), секстиллион (10²¹), септиллион (10²⁴), октиллион (10²⁷), нониллион (10³⁰), дециллион (10³³). Далее названия образуются по латинским приставкам: ундециллион, дуодециллион и так далее.

Классические рекордсмены: гугол и гуголплекс

Гугол — число, равное 10¹⁰⁰, то есть единица со ста нулями. Термин предложил в 1938 году американский математик Эдвард Казнер, по легенде — по просьбе своего девятилетнего племянника Милтона Сиротты. Гугол больше числа атомов в наблюдаемой Вселенной (оценивается примерно в 10⁸⁰), но меньше некоторых известных математических величин.

Гуголплекс — число, равное 10 в степени гугол (10¹⁰¹⁰⁰). Для его десятичной записи не хватило бы места во всей Вселенной, даже если бы каждая цифра занимала объём атома. Гуголплекс впервые упоминается в той же книге Казнера «Математика и воображение» (1940).

Числа, порождаемые функциями

Значительно большие числа возникают при вычислении некоторых функций, растущих сверхбыстро.

Факториал и двойной факториал

Факториал числа n (обозначается n!) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Факториал 100! содержит 158 цифр. Факториал 1000! — 2568 цифр. Скорость роста факториала описывается формулой Стирлинга: n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ.

Число Скьюза

Число Скьюза — одно из первых чисел, специально введённых для доказательства гипотезы, а не для практических вычислений. Южноафриканский математик Стэнли Скьюз в 1933 году показал, что существует число, меньше которого гипотеза Римана может нарушаться. Первое число Скьюза равно e в степени e в степени e в степени 79 (приблизительно 10¹⁰¹⁰³⁴). Второе число Скьюза, полученное позже, ещё больше — оно связано с более сильной формой гипотезы.

Число Грэма

Число Грэма — долгое время считалось самым большим числом, когда-либо использованным в математическом доказательстве. Оно возникло в 1971 году в работе Рональда Грэма, посвящённой задачам теории Рамсея, а именно — проблеме раскраски рёбер гиперкуба. Число Грэма невозможно записать в обычной десятичной нотации даже с использованием степенных башен: оно задаётся через стрелочную нотацию Кнута.

Стрелочная нотация Кнута определяет операции, растущие быстрее возведения в степень. Одна стрелка — возведение в степень (a↑b = aᵇ), две стрелки — тетрация (a↑↑b — башня из a высотой b), три — пентация и так далее. Число Грэма определяется рекурсивно: G₁ = 3↑↑↑↑3, G₂ = 3↑^(G₁)3, и так далее до G₆₄, которое и называется числом Грэма. Последние десять цифр числа Грэма известны: 2464195387, что было доказано в 2012 году.

Формальные системы и нотации для сверхбольших чисел

Для работы с числами, которые невозможно записать обычным способом, математики разработали специальные нотации.

Гипероператоры

Обобщение арифметических операций: сложение — гипероператор порядка 1, умножение — порядка 2, возведение в степень — порядка 3, тетрация — порядка 4, пентация — порядка 5 и так далее. Каждая следующая операция определяется как повторение предыдущей.

Нотация массива Бауэрса

Джонатан Бауэрс в 2002 году предложил нотацию, позволяющую записывать числа, значительно превышающие число Грэма. Она использует массивы чисел: {a,b} = aᵇ, {a,b,c} — рекурсивное применение гипероператоров, а многомерные массивы позволяют строить числа, для сравнения которых с числом Грэма не хватает стандартных средств.

Функции быстрого роста

Иерархия быстрорастущих функций f₀, f₁, f₂, ... определяется рекурсивно: f₀(n) = n+1, fₖ₊₁(n) = fₖⁿ(n). Уже f₃(n) — это возведение в степень, f₄(n) — тетрация. Функции с трансфинитными индексами (например, f_ε₀(n)) растут настолько быстро, что превосходят любые функции, определимые в арифметике Пеано.

Число TREE(3) и невычислимые числа

TREE(3) — число, связанное с теоремой Краскала о вложении деревьев. Оно определяется как длина самой длинной последовательности деревьев, удовлетворяющих определённым условиям. TREE(3) намного больше числа Грэма: даже TREE(2) сравнительно невелико, а TREE(3) настолько огромно, что его невозможно приблизительно описать с помощью обычных нотаций.

Существуют также числа, которые принципиально не могут быть вычислены в рамках данной формальной системы. Например, функция занятого бобра (Busy Beaver) растёт быстрее любой вычислимой функции: значение Σ(n) для достаточно больших n не может быть определено алгоритмически.

Практические применения больших чисел

В реальных науках большие числа встречаются реже, чем в чистой математике, но некоторые примеры известны:

• Число атомов в наблюдаемой Вселенной — около 10⁸⁰.
• Число возможных шахматных партий — примерно 10¹²⁰.
• Число перестановок колоды из 52 карт — 52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷.
• В криптографии используются простые числа длиной 2048 бит, что соответствует числам порядка 10⁶¹⁶.

В комбинаторике и теории вероятностей большие числа возникают естественно при подсчёте числа перестановок, сочетаний и графов.

Парадоксы и критика

Понятие «самое большое число» внутренне противоречиво: для любого числа n можно указать число n+1, которое больше. Поэтому корректнее говорить не о самом большом числе, а о наибольшем числе, используемом в конкретном доказательстве или контексте. Рекорды «самых больших чисел» периодически обновляются по мере развития математики.

Критики отмечают, что числа, подобные числу Грэма или TREE(3), не имеют практического применения и интересны лишь как демонстрация возможностей формальных систем. Однако они играют важную роль в теории доказательств и в исследовании границ вычислимости.

Источники

• Казнер Э., Ньюман Дж. «Математика и воображение» (1940).
• Грэм Р., Ротшильд Б. «Ramsey's Theorem for n-Parameter Sets» (1971).
• Кнут Д. «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness» (1976).
• Бауэрс Дж. «Array Notation» (2002).
• Фридман Х. «Enormous Integers in Real Life» (2001).