Гипотеза Римана

Гипотеза Римана — это математическая гипотеза о распределении нетривиальных нулей дзета-функции Римана, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Она утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2. Гипотеза считается одной из важнейших нерешённых проблем математики и входит в список семи «Проблем тысячелетия» Математического института Клэя, за решение каждой из которых установлен приз в 1 миллион долларов США.

История

Предпосылки

Изучение распределения простых чисел имеет долгую историю. В античности Евклид доказал бесконечность множества простых чисел. В XVIII веке Леонард Эйлер ввёл дзета-функцию, определённую для действительных аргументов, и установил её связь с простыми числами через тождество Эйлера. В начале XIX века Гаусс и Лежандр эмпирически сформулировали асимптотический закон распределения простых чисел, который утверждает, что количество простых чисел, не превосходящих x, приблизительно равно x / ln x.

Работа Римана

В 1859 году Бернхард Риман опубликовал статью «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» (нем. Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse). В этой работе он обобщил дзета-функцию Эйлера на комплексную плоскость (за исключением полюса в точке 1) и показал её аналитическое продолжение. Риман вывел формулу, связывающую количество простых чисел с нетривиальными нулями дзета-функции, и высказал гипотезу, что все эти нули лежат на критической прямой Re(s) = 1/2. Сам Риман не смог доказать это утверждение, но отметил, что оно кажется ему правдоподобным.

Развитие после Римана

В конце XIX — начале XX века математики активно исследовали дзета-функцию. В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали закон распределения простых чисел, используя свойства дзета-функции, но не опираясь на гипотезу Римана. В 1914 году Харди доказал, что на критической прямой находится бесконечно много нетривиальных нулей. В 1942 году Сельберг показал, что положительная доля всех нулей лежит на критической прямой. К началу XXI века численные расчёты подтвердили гипотезу для первых триллионов нулей, однако строгого доказательства не найдено.

Формулировка

Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана ζ(s) определяется для комплексных чисел s = σ + it с действительной частью σ > 1 как сумма ряда: ζ(s) = Σ_{n=1}^{∞} 1/n^s. С помощью аналитического продолжения она может быть расширена на всю комплексную плоскость, за исключением простого полюса в точке s = 1 с вычетом 1. Функция удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему значения в точках s и 1-s.

Нули дзета-функции

Различают тривиальные и нетривиальные нули. Тривиальные нули находятся в точках s = -2, -4, -6, ... и следуют из функционального уравнения. Нетривиальные нули — это все остальные нули, расположенные в критической полосе 0 < Re(s) < 1. Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули имеют действительную часть, равную 1/2, то есть лежат на критической прямой Re(s) = 1/2.

Эквивалентные формулировки

Существует множество эквивалентных формулировок гипотезы Римана. Например, она эквивалентна утверждению, что для любого ε > 0 функция π(x) (количество простых чисел, не превосходящих x) отличается от интегрального логарифма Li(x) не более чем на O(x^{1/2+ε}). Другая эквивалентная формулировка связана с ростом функции Мертенса M(x) = Σ_{n≤x} μ(n), где μ — функция Мёбиуса: гипотеза Римана эквивалентна утверждению M(x) = O(x^{1/2+ε}) для любого ε > 0.

Значение

Связь с простыми числами

Гипотеза Римана имеет прямое отношение к распределению простых чисел. Если она верна, то оценка погрешности в законе распределения простых чисел является наилучшей возможной. Это позволило бы точно предсказывать количество простых чисел в больших интервалах и улучшить многие теоремы аналитической теории чисел.

Влияние на другие области математики

Гипотеза Римана связана с множеством других математических проблем. Она входит в число гипотез, обобщённых на L-функции Дирихле и более общие автоморфные L-функции (обобщённая гипотеза Римана). Доказательство гипотезы Римана имело бы последствия для теории чисел, алгебраической геометрии, теории представлений и квантовой физики. Например, она связана с распределением собственных значений случайных матриц и с гипотезой о хаотичности в квантовых системах.

Попытки доказательства

Численные проверки

С начала XX века математики проводили численные вычисления для проверки гипотезы. К 2020-м годам с помощью компьютеров было проверено более 10 триллионов нетривиальных нулей, и все они удовлетворяют гипотезе. Однако численная проверка не может служить доказательством, так как существует бесконечно много нулей.

Известные неудачные попытки

Многие известные математики пытались доказать или опровергнуть гипотезу Римана. В 1914 году Линделёф предложил гипотезу о росте дзета-функции на критической прямой, которая является более слабой. В 1980-х годах Ален Конн предпринял попытку связать гипотезу с некоммутативной геометрией. В 2004 году Луи де Бранж заявил о доказательстве, но его работа содержала ошибки и не была принята научным сообществом. Регулярно появляются сообщения о доказательстве, но ни одно из них не выдерживает проверки.

Современное состояние

По состоянию на 2024 год гипотеза Римана остаётся недоказанной. Она признана одной из самых сложных математических проблем. Математический институт Клэя включил её в список «Проблем тысячелетия». За её решение предлагается приз в 1 миллион долларов США. Гипотеза также входит в список 23 проблем Гильберта (восьмая проблема).

Критика и альтернативы

Хотя большинство математиков верят в истинность гипотезы Римана, существуют скептические мнения. Некоторые исследователи допускают, что гипотеза может оказаться ложной, и тогда распределение простых чисел будет иметь более сложную структуру. В 1980-х годах Одлыжко и те Рюле высказали предположение, что нули дзета-функции могут подчиняться статистике случайных матриц, что косвенно подтверждает гипотезу. Однако строгих доказательств нет.

Интересные факты

• Гипотеза Римана является единственной проблемой тысячелетия, которая была сформулирована в XIX веке.
• Дэвид Гильберт, один из величайших математиков XX века, сказал, что если бы он проснулся через 500 лет, то первым делом спросил бы, доказана ли гипотеза Римана.
• В 2018 году британский математик Майкл Атья заявил о доказательстве гипотезы на лекции в Гейдельберге, но его аргументы были признаны несостоятельными.
• Гипотеза Римана используется в криптографии: некоторые алгоритмы, основанные на сложности факторизации, косвенно зависят от её истинности.