Составной пуассоновский процесс¶

Составной пуассоновский процесс — это случайный процесс с непрерывным временем и кусочно-постоянными траекториями, который представляет собой сумму случайного числа случайных величин, появляющихся в моменты скачков обычного пуассоновского процесса. Формально, если {N(t), t ≥ 0} — пуассоновский процесс с интенсивностью λ, а {X₁, X₂, …} — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, не зависящая от N(t), то составной пуассоновский процесс {S(t)} определяется как S(t) = Σᵢ₌₁^{N(t)} Xᵢ. При N(t) = 0 сумма полагается равной нулю.

¶Определение и основные свойства

Составной пуассоновский процесс является обобщением классического пуассоновского процесса, в котором каждый скачок имеет случайную величину (размер), а не единичный. Он относится к классу процессов Леви — случайных процессов с независимыми и стационарными приращениями.

Ключевые свойства:

• Независимые приращения: для любых непересекающихся интервалов времени приращения процесса независимы.
• Стационарные приращения: распределение приращения S(t+s) − S(t) зависит только от длины интервала s.
• Кусочно-постоянные траектории: процесс меняется только в моменты скачков пуассоновского процесса.

¶Характеристическая функция

Характеристическая функция процесса имеет вид: φ_{S(t)}(u) = exp{ λ t (φ_X(u) − 1) }, где φ_X(u) — характеристическая функция величин Xᵢ. Это выражение следует из свойства условной независимости: при фиксированном N(t) = n сумма S(t) является суммой n независимых копий X.

¶Математическое ожидание и дисперсия

При условии конечности первых двух моментов величин X:

• E[S(t)] = λ t E[X];
• Var[S(t)] = λ t E[X²].

Эти формулы следуют из формул полного математического ожидания и полной дисперсии (закон повторного ожидания).

¶Связь с пуассоновским процессом

Если Xᵢ ≡ 1 (детерминированная единица), составной пуассоновский процесс сводится к обычному пуассоновскому процессу с интенсивностью λ. Если Xᵢ принимает только значения 0 и 1, процесс описывает редкие события с «пропуском» — например, количество заявок, каждая из которых с вероятностью p принимается к обслуживанию.

¶Применение

Составные пуассоновские процессы широко используются в различных областях:

• Актуарная математика и страхование: модель совокупного убытка страховой компании. Здесь N(t) — число страховых случаев за время t, а Xᵢ — размер выплаты по i-му случаю. Классическая модель риска Крамера — Лундберга строится именно на основе составного пуассоновского процесса.
• Теория очередей: модель группового поступления требований, когда в момент прихода поступает случайное количество заявок.
• Финансовая математика: модель скачкообразного изменения цены актива (процесс Мертона), где скачки описываются составным пуассоновским процессом с нормально распределёнными величинами Xᵢ.
• Теория надёжности: моделирование суммарного ущерба от отказов оборудования или накопленного износа.
• Физика и биология: моделирование импульсных сигналов, например, потока фотонов или нейронных спайков.

¶Обобщения

Составной пуассоновский процесс допускает ряд обобщений:

• Неоднородный по времени вариант, когда интенсивность λ(t) зависит от времени.
• Двумерные и многомерные версии, где Xᵢ — случайные векторы.
• Обобщённый пуассоновский процесс с зависимыми величинами Xᵢ (однако в этом случае теряется свойство независимых приращений).
• Субординация — замена времени t на независимый неубывающий процесс (например, гамма-процесс), что приводит к процессам с тяжёлыми хвостами.

¶Пример

Пусть N(t) — пуассоновский процесс с интенсивностью λ = 2, а Xᵢ имеют экспоненциальное распределение с параметром μ = 0,5. Тогда средний размер скачка E[X] = 2, и E[S(t)] = 2 · 2 · t = 4t, а дисперсия Var[S(t)] = 2 · 4 · t = 8t. Такой процесс может моделировать суммарный ущерб при частоте наступления событий 2 раза в единицу времени и среднем ущербе 2 денежные единицы.

¶Литература

• Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения», том 2.
• Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. «Введение в теорию массового обслуживания».
• Ширяев А. Н. «Вероятность».
• Cont R., Tankov P. «Financial Modelling with Jump Processes».