Спорадические группы

Спорадические группы — это в теории групп конечные простые группы, не принадлежащие ни к одному из бесконечных семейств: циклическим группам простого порядка, знакопеременным группам степени не менее 5, группам лиева типа (классическим группам над конечными полями). Всего известно 26 спорадических групп, существование которых было доказано в ходе классификации конечных простых групп — одной из крупнейших математических теорем XX века. Крупнейшая из них — группа Монстра (Monster group, или группа Фишера — Грисса), насчитывающая около 8×10⁵³ элементов.

История открытия

Первые спорадические группы были обнаружены в конце XIX — начале XX века. В 1861 году французский математик Эмиль Матьё описал пять групп, названных его именем (M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄). Они были найдены при изучении транзитивных групп перестановок и долгое время оставались единственными известными спорадическими группами.

В 1960-х годах начался интенсивный поиск новых спорадических групп. В 1965 году Звонимир Янко открыл группу J₁, первую из так называемых «янковских» групп. В 1968 году Джон Томпсон и Джон Мак-Кей обнаружили группу Хигмана — Симса (HS). В 1969 году Бернд Фишер нашёл три группы, названные его именем (Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄), а также группу Монстра.

В 1973 году Роберт Грисс и Джон Конвей независимо друг от друга построили группу Монстра. Полное доказательство её существования и свойств было завершено Гриссом в 1982 году. В 1976 году Дин Нортон и Саймон Нортон сформулировали «чудовищный самогон» (Monstrous moonshine) — связь между группой Монстра и модулярными функциями, за что впоследствии Ричард Борчердс получил Филдсовскую медаль (1998).

Последняя спорадическая группа — группа J₄ — была открыта в 1975 году. К 1980-м годам классификация конечных простых групп была в основном завершена, и доказано, что список спорадических групп исчерпывается 26.

Классификация

Все спорадические группы делятся на несколько подсемейств по происхождению и структуре:

Группы Матьё

Пять групп, обозначаемых M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄. Они являются группами перестановок, действующими на множествах из 11, 12, 22, 23 и 24 элементов соответственно. M₁₁ и M₂₃ — простые, M₁₂ и M₂₄ содержат простые подгруппы индекса 2. Группы Матьё тесно связаны с системой Штейнера S(5,6,12) и S(5,8,24).

Группы Янко

Четыре группы: J₁, J₂, J₃, J₄. J₁ — первая спорадическая группа, открытая после Матьё. J₄ — последняя по времени открытия спорадическая группа. Все они являются простыми и имеют порядки от 175 560 (J₁) до 86 775 571 046 077 562 880 (J₄).

Группы Конвея

Три группы: Co₁, Co₂, Co₃. Они связаны с решёткой Лича — 24-мерной решёткой, имеющей важное значение в теории чисел и кодировании. Co₁ — наибольшая из них, её порядок — около 4×10¹⁸.

Группы Фишера

Три группы: Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄. Они были открыты Берндом Фишером при изучении групп, порождённых 3-транспозициями. Fi₂₄ — наибольшая, её порядок — около 1,3×10²⁴.

Группы Хигмана — Симса, Маклафлина, Хельда, Лионса, О’Нэна, Рудивалиса, Судзуки

Каждая из этих групп была открыта независимо:

• HS (Хигман — Симс, 1968) — связана с группой Матьё M₂₂.
• McL (Маклафлин, 1969) — связана с группой M₂₂ и решёткой Лича.
• He (Хельд, 1969) — подгруппа группы Монстра.
• Ly (Лионс, 1969) — также подгруппа Монстра.
• ON (О’Нэн, 1973) — связана с группой J₁.
• Ru (Рудивалис, 1973) — связана с группой Судзуки.
• Suz (Судзуки, 1968) — связана с группой Монстра.

Монстр (F₁) и его родственники

Группа Монстра (Monster group, обозначается F₁ или M) — крупнейшая спорадическая группа, её порядок равен 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 (около 8×10⁵³). Она была построена Робертом Гриссом в 1982 году. С группой Монстра связаны шесть других спорадических групп, называемых «детьми Монстра»: Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄, He, Ly, Th (Томпсон). Ещё одна группа — B (Baby Monster, или F₂) — является подгруппой Монстра.

Группа Томпсона (Th)

Открыта Джоном Томпсоном в 1976 году, порядок — около 9×10¹⁶. Является подгруппой Монстра.

Группа Харады — Нортона (HN)

Открыта в 1975 году, порядок — около 2,7×10¹⁴. Связана с группой Монстра.

Свойства

Спорадические группы обладают рядом уникальных свойств:

• Все они являются простыми, то есть не имеют нетривиальных нормальных подгрупп.
• Многие из них вложены друг в друга: например, M₁₁ содержится в M₁₂, M₂₂ — в M₂₃, а все группы Матьё — в M₂₄. Группа Монстра содержит большинство других спорадических групп в качестве подгрупп.
• Группа Монстра и её «дети» связаны с модулярными формами и теорией струн (Monstrous moonshine).
• Некоторые спорадические группы (например, J₁, J₂, M₁₁) являются группами перестановок, другие — матричными группами над конечными полями.

Значение

Спорадические группы играют ключевую роль в классификации конечных простых групп — одной из важнейших теорем алгебры. Их существование показывает, что классификация не ограничивается бесконечными семействами, а включает 26 уникальных объектов. Изучение спорадических групп привело к открытию глубоких связей между теорией групп, теорией чисел, алгебраической геометрией и математической физикой. В частности, «чудовищный самогон» (Monstrous moonshine) связал группу Монстра с модулярными функциями, что привело к созданию теории вершинных алгебр и нашло применение в теории струн.

Интересные факты

• Группа Монстра имеет порядок, который является произведением нескольких простых чисел, включая 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 и 71.
• Наименьшая спорадическая группа — M₁₁, её порядок равен 7920.
• Существует гипотеза, что список спорадических групп исчерпывается 26, но полное доказательство классификации конечных простых групп (около 15 000 страниц) всё ещё проверяется и уточняется.
• Некоторые спорадические группы, такие как J₁, J₂, M₁₁, M₂₂, можно реализовать как группы перестановок, что делает их доступными для компьютерных вычислений.

Источники

• Aschbacher, M. (2004). The Status of the Classification of the Finite Simple Groups. Notices of the AMS, 51(7), 736–740.
• Conway, J. H., Curtis, R. T., Norton, S. P., Parker, R. A., & Wilson, R. A. (1985). Atlas of Finite Groups. Oxford University Press.
• Gorenstein, D. (1982). Finite Simple Groups: An Introduction to Their Classification. Plenum Press.
• Wilson, R. A. (2009). The Finite Simple Groups. Springer.