Среднее степенное взвешенное

Среднее степенное взвешенное — это обобщающая статистическая характеристика совокупности значений, которая вычисляется как корень степени \(p\) из взвешенной суммы этих значений, возведённых в ту же степень \(p\), делённой на сумму весов. Является расширением понятия среднего степенного (не взвешенного) на случай, когда отдельные элементы выборки имеют различную значимость (вес). В зависимости от показателя степени \(p\) среднее степенное взвешенное превращается в различные виды средних величин, широко применяемых в статистике, экономике, физике и других науках.

Определение и формула

Пусть задана совокупность из \(n\) чисел \(x_1, x_2, \dots, x_n\) с соответствующими положительными весами \(w_1, w_2, \dots, w_n\). Средним степенным взвешенным порядка \(p\) (где \(p\) — действительное число, не равное нулю) называется величина:

\[ M_p(w) = \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i^p}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \right)^{1/p} \]

При \(p=0\) формула теряет смысл, однако в пределе при \(p \to 0\) среднее степенное взвешенное стремится к взвешенному среднему геометрическому:

\[ M_0(w) = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i^{w_i} \right)^{1 / \sum w_i} \]

Если все веса равны (\(w_1 = w_2 = \dots = w_n\)), формула сводится к обычному (невзвешенному) среднему степенному.

Частные случаи

Значение показателя \(p\) определяет тип среднего. Наиболее употребительные случаи:

Среднее арифметическое взвешенное (\(p=1\))

Наиболее распространённый вид взвешенного среднего. Используется, когда необходимо учесть разную частоту встречаемости или значимость значений. Например, расчёт средней цены товара при разных объёмах продаж: если товар продавался по цене 100 руб. (10 штук) и 120 руб. (20 штук), средняя взвешенная цена составит \((100 \cdot 10 + 120 \cdot 20) / (10+20) = 113,33\) руб.

Среднее геометрическое взвешенное (\(p=0\))

Применяется для усреднения относительных величин (темпов роста, индексов) с учётом периодов, к которым они относятся. Например, если вклад увеличивался на 5% в первый год (вес 1) и на 10% в следующие два года (вес 2), средний коэффициент роста за три года равен \((1,05^1 \cdot 1,10^2)^{1/3} \approx 1,083\) (8,3% годовых).

Среднее гармоническое взвешенное (\(p=-1\))

Используется, когда весами являются не частоты, а обратные величины. Характерный пример — расчёт средней скорости на участках пути с разной длиной: если первый участок длиной 100 км пройден со скоростью 50 км/ч, а второй — 200 км со скоростью 100 км/ч, средняя скорость равна \((100+200) / (100/50 + 200/100) = 300 / 4 = 75\) км/ч.

Среднее квадратическое взвешенное (\(p=2\))

Применяется в задачах, где важна мера разброса или энергия. Например, среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) в статистике — это квадратный корень из взвешенной дисперсии, где весами являются вероятности. В физике среднее квадратическое взвешенное используется для расчёта среднеквадратичной скорости молекул газа.

Свойства

1. Непрерывность и монотонность: функция \(M_p(w)\) непрерывна по \(p\) (при \(p=0\) доопределяется пределом) и монотонно возрастает с ростом \(p\) при фиксированных \(x_i\) и \(w_i\). Это означает, что для одного набора данных:

\[ M_{-2}(w) \le M_{-1}(w) \le M_0(w) \le M_1(w) \le M_2(w) \le \dots \] Равенство достигается только если все \(x_i\) равны между собой.

1. Однородность: если все \(x_i\) умножить на положительную константу \(c\), то среднее степенное взвешенное также умножится на \(c\).

1. Инвариантность к масштабу весов: умножение всех весов на одну и ту же положительную константу не меняет значения среднего.

1. Предельные случаи: при \(p \to +\infty\) среднее стремится к максимальному значению среди \(x_i\) (с учётом весов — к значению, соответствующему наибольшему весу при равных \(x_i\)), а при \(p \to -\infty\) — к минимальному.

Применение

Статистика и экономика

• Расчёт средних показателей по группам с разной численностью (средняя зарплата по отраслям, средняя урожайность по районам).
• Индексы цен и физического объёма (индексы Ласпейреса и Пааше — взвешенные средние гармонические и арифметические).
• Оценка эффективности инвестиций (средняя геометрическая взвешенная доходность).

Физика и инженерия

• Вычисление центра масс системы материальных точек (среднее арифметическое взвешенное координат с весами-массами).
• Среднеквадратичное значение переменного тока (среднее квадратическое взвешенное по времени).
• Расчёт среднего радиуса частиц в дисперсных системах (среднее гармоническое взвешенное).

Обработка сигналов и машинное обучение

• Взвешенное скользящее среднее для сглаживания временных рядов.
• Метод k-ближайших соседей с весовыми коэффициентами, обратно пропорциональными расстоянию.
• Взвешенные метрики в задачах классификации и регрессии.

Обобщения

Среднее степенное взвешенное является частным случаем обобщённого среднего (среднего по Колмогорову) для функции \(f(x) = x^p\) (при \(p \neq 0\)) и \(f(x) = \ln x\) (при \(p=0\)). В более широком смысле взвешенное среднее можно определить для любой монотонной функции \(f\):

\[ M_f(w) = f^{-1}\left( \frac{\sum w_i f(x_i)}{\sum w_i} \right) \]

Такое обобщение позволяет строить средние, устойчивые к выбросам или, наоборот, чувствительные к ним.

Критика и ограничения

• Выбор показателя \(p\) и весов часто субъективен и может существенно влиять на результат. Например, среднее арифметическое взвешенное чувствительно к большим значениям, а среднее гармоническое — к малым.
• При наличии нулевых или отрицательных значений среднее геометрическое и гармоническое могут быть не определены (для геометрического — если хотя бы одно значение равно нулю, для гармонического — если есть нули в знаменателе).
• Взвешивание не всегда корректно, если веса не отражают реальную значимость наблюдений (например, при использовании частот вместо вероятностей).

Источники

• Кендалл М., Стюарт А. «Теория распределений» (глава о средних величинах).
• Кобзарь А. И. «Прикладная математическая статистика» (раздел о взвешенных средних).
• Большая российская энциклопедия, статья «Средние величины».
• Hardy G. H., Littlewood J. E., Pólya G. «Inequalities» (классическая работа о неравенствах для средних степенных).