Среднее гармоническое

Среднее гармоническое — это один из видов средних величин, определяемый как отношение числа элементов выборки (или их количества) к сумме величин, обратных каждому элементу. В отличие от среднего арифметического, среднее гармоническое используется для нахождения средней величины отношений, скоростей, производительностей и других показателей, имеющих обратную пропорциональность по отношению к единице измерения. Оно всегда меньше или равно среднему геометрическому и среднему арифметическому для одного и того же набора положительных чисел, причём равенство достигается только в случае, когда все числа равны.

Определение и формула

Для набора положительных чисел \( x_1, x_2, \dots, x_n \) среднее гармоническое \( H \) вычисляется по формуле:

\[ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \]

Если числа имеют веса \( w_i \) (например, частоты), то используется взвешенное среднее гармоническое:

\[ H_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i}{\sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{x_i}} \]

В случае двух чисел \( a \) и \( b \) формула упрощается до:

\[ H = \frac{2ab}{a + b} \]

Для трёх чисел \( a, b, c \):

\[ H = \frac{3abc}{ab + bc + ac} \]

Среднее гармоническое определено только для положительных чисел. Если в выборке есть нулевые или отрицательные значения, результат может быть неопределённым, бесконечным или лишённым физического смысла.

Свойства

Связь с другими средними

Для одного и того же набора положительных чисел выполняется неравенство:

\[ \min(x_i) \leq H \leq G \leq A \leq \max(x_i) \]

где \( H \) — среднее гармоническое, \( G \) — среднее геометрическое, \( A \) — среднее арифметическое. Равенство достигается только при \( x_1 = x_2 = \dots = x_n \).

Обратная величина

Среднее гармоническое является обратной величиной к среднему арифметическому обратных чисел:

\[ \frac{1}{H} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i} \]

Чувствительность к малым значениям

Среднее гармоническое сильно подвержено влиянию малых значений в выборке. Если хотя бы один элемент близок к нулю, среднее гармоническое также стремится к нулю, в то время как среднее арифметическое может оставаться значительным.

Инвариантность при масштабировании

Если все элементы умножить на положительную константу \( k \), среднее гармоническое также умножится на \( k \):

\[ H(kx_1, kx_2, \dots, kx_n) = k \cdot H(x_1, x_2, \dots, x_n) \]

История

Понятие среднего гармонического восходит к античной математике. В пифагорейской школе (VI–V века до н. э.) рассматривались три вида средних: арифметическое, геометрическое и гармоническое. Пифагорейцы называли его «субконтрарным» (подпротивоположным) средним. Термин «гармоническое» закрепился благодаря Архиту Тарентскому (ок. 428–347 до н. э.), который связал его с музыкальной гармонией: если длины струн образуют гармоническую пропорцию, то они дают консонансные интервалы.

В «Началах» Евклида (ок. 300 до н. э.) встречается определение гармонической пропорции: три числа \( a, b, c \) находятся в гармонической пропорции, если \( a : c = (a - b) : (b - c) \). Среднее гармоническое \( b \) в этом случае вычисляется как \( b = \frac{2ac}{a + c} \).

В средние века и эпоху Возрождения среднее гармоническое применялось в музыке, архитектуре и оптике. В XIX веке оно вошло в арсенал статистики и теории вероятностей.

Применение

Физика и техника

Среднее гармоническое используется для расчёта средних скоростей при движении с разными скоростями на равных участках пути. Если тело проходит путь \( S \) со скоростью \( v_1 \) на первой половине и со скоростью \( v_2 \) на второй половине, то средняя скорость на всём пути равна среднему гармоническому \( v_1 \) и \( v_2 \), а не среднему арифметическому.

Пример: если автомобиль едет 100 км со скоростью 60 км/ч, а затем 100 км со скоростью 40 км/ч, средняя скорость составит \( \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48 \) км/ч. Среднее арифметическое (50 км/ч) в этом случае неверно, так как время, затраченное на каждый участок, различно.

В электротехнике среднее гармоническое применяется для расчёта эквивалентного сопротивления параллельно соединённых резисторов: \( R_{экв} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots} \), что по сути является частным случаем среднего гармонического, делённого на количество резисторов.

Финансы и экономика

В финансовой математике среднее гармоническое используется для вычисления средней цены акций при покупке на одинаковую сумму денег. Например, если инвестор ежемесячно тратит фиксированную сумму на покупку акций, то средняя цена покупки равна среднему гармоническому цен, по которым совершались покупки.

Статистика и обработка данных

Среднее гармоническое применяется как мера центральной тенденции для наборов данных, содержащих обратные величины (например, плотность населения, скорость, производительность). Оно также используется в метриках оценки качества классификаторов: F-мера (F1-score) является средним гармоническим точности и полноты.

Музыка

В музыкальной акустике гармоническая пропорция лежит в основе построения консонансных интервалов. Например, длины струн, образующие октаву (2:1), квинту (3:2) и кварту (4:3), связаны гармоническим средним.

Примеры вычислений

Пример 1. Найти среднее гармоническое чисел 2, 4, 8.

\[ H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = \frac{3}{0,5 + 0,25 + 0,125} = \frac{3}{0,875} \approx 3,4286 \]

Среднее арифметическое тех же чисел: \( (2 + 4 + 8) / 3 \approx 4,6667 \). Среднее геометрическое: \( \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 8} = 4 \). Неравенство \( H \leq G \leq A \) выполняется.

Пример 2. Для двух чисел 5 и 20:

\[ H = \frac{2 \cdot 5 \cdot 20}{5 + 20} = \frac{200}{25} = 8 \]

Среднее арифметическое: 12,5; среднее геометрическое: 10.

Критика и ограничения

Среднее гармоническое не определено для нулевых и отрицательных значений, что ограничивает его применение в статистике, где данные могут содержать нули. Кроме того, оно чрезвычайно чувствительно к выбросам в сторону малых значений: один элемент, близкий к нулю, может сделать среднее гармоническое сколь угодно малым, даже если остальные элементы велики. В таких случаях среднее гармоническое может не отражать типичное значение выборки, и его использование требует осторожности.

В некоторых контекстах (например, при расчёте средней скорости на участках разной длины) среднее гармоническое применимо только при условии равенства длин участков. Если участки не равны, необходимо использовать взвешенное среднее гармоническое или другие методы.

Источники

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1973.
2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Высшая школа, 1999.
3. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.
4. Боровков А. А. Математическая статистика. — М.: Наука, 1984.
5. Энциклопедия элементарной математики / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: ГИТТЛ, 1951. — Т. 1.