Стационарный случайный процесс в теории вероятностей¶

Стационарный случайный процесс — это случайный процесс, вероятностные характеристики которого не изменяются с течением времени. Формально это означает инвариантность конечномерных распределений процесса относительно сдвига по временной оси. Понятие широко используется в теории вероятностей, математической статистике, радиотехнике, эконометрике и других областях, где требуется анализ временных рядов и сигналов.

¶Определение и виды

Случайный процесс \( X(t) \) называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого конечного набора моментов времени \( t_1, t_2, \dots, t_n \) и любого сдвига \( \tau \) совместное распределение случайных величин \( X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \dots, X(t_n+\tau) \) совпадает с совместным распределением \( X(t_1), X(t_2), \dots, X(t_n) \). Иными словами, все конечномерные распределения не зависят от абсолютного времени.

На практике чаще используется более слабое условие — стационарность в широком смысле (стационарность второго порядка, слабая стационарность). Процесс называется стационарным в широком смысле, если:

• математическое ожидание \( m(t) = \mathbb{E}[X(t)] \) постоянно и не зависит от \( t \);
• автокорреляционная функция \( R(t_1, t_2) = \mathbb{E}[(X(t_1)-m)(X(t_2)-m)] \) зависит только от разности \( \tau = t_2 - t_1 \), а не от конкретных моментов времени.

Для гауссовских процессов стационарность в широком смысле эквивалентна стационарности в узком смысле, поскольку нормальное распределение полностью определяется первыми двумя моментами.

¶Свойства и характеристики

Для стационарного в широком смысле процесса автокорреляционная функция \( R(\tau) \) обладает следующими свойствами:

• \( R(0) = \sigma^2 \) — дисперсия процесса;
• \( |R(\tau)| \leq R(0) \) (неравенство Коши–Буняковского);
• \( R(\tau) = R(-\tau) \) — функция чётная;
• \( R(\tau) \) является положительно определённой функцией.

По теореме Винера — Хинчина спектральная плотность мощности \( S(\omega) \) стационарного процесса связана с автокорреляционной функцией парой преобразований Фурье: \[ S(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{-i\omega\tau} d\tau, \quad R(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{i\omega\tau} d\omega. \] Спектральная плотность описывает распределение мощности процесса по частотам и является неотрицательной чётной функцией.

¶Эргодичность

Важным свойством стационарных процессов является эргодичность. Стационарный процесс называется эргодическим, если его временные средние (усреднённые по одной реализации на большом интервале) сходятся к соответствующим вероятностным средним (математическим ожиданиям). Для эргодического процесса: \[ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X(t)\, dt = \mathbb{E}[X(t)] \] почти наверное. Эргодичность позволяет оценивать характеристики процесса по одной достаточно длинной реализации, что имеет ключевое значение для прикладной статистики и обработки сигналов. Не всякий стационарный процесс эргодичен; например, процесс, состоящий из суммы эргодического процесса и случайной постоянной величины, стационарен, но не эргодичен.

¶Примеры

Классические примеры стационарных процессов:

• Белый шум — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией; автокорреляционная функция равна нулю при \( \tau \neq 0 \).
• Процесс авторегрессии первого порядка AR(1): \( X_t = \varphi X_{t-1} + \varepsilon_t \), где \( |\varphi| < 1 \), а \( \varepsilon_t \) — белый шум. При \( |\varphi| < 1 \) процесс является стационарным.
• Гармонический сигнал со случайной фазой \( X(t) = A \cos(\omega t + \Theta) \), где \( \Theta \) равномерно распределена на \( [0, 2\pi) \), — стационарный процесс в широком смысле.

¶Применение

Стационарные процессы служат базовой моделью во многих областях:

• Радиотехника и связь — анализ шумов, помех и сигналов на фоне стационарных случайных воздействий.
• Эконометрика — модели временных рядов (ARMA, ARIMA) предполагают стационарность или приводятся к ней дифференцированием.
• Гидрометеорология и геофизика — описание флуктуаций температуры, давления, уровня воды.
• Теория массового обслуживания — стационарные режимы работы систем.
• Физика — броуновское движение (после соответствующей нормализации), тепловой шум в электрических цепях.

¶Ограничения и обобщения

Реальные процессы часто нестационарны: они могут иметь тренды, сезонные составляющие или изменяющуюся во времени дисперсию. Для работы с такими данными применяют методы приведения к стационарности (взятие разностей, выделение детерминированных компонент) либо используют обобщения — локально стационарные процессы, процессы с медленно меняющимися параметрами, периодически коррелированные (циклостационарные) процессы.