Неравенство Коши

Неравенство Коши — это фундаментальное неравенство в математике, устанавливающее связь между суммой произведений чисел и произведением сумм их квадратов. В наиболее распространённой форме, известной как неравенство Коши — Буняковского, оно утверждает, что для любых действительных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_n\) и \(b_1, b_2, \dots, b_n\) выполняется соотношение:

\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). \]

Равенство достигается тогда и только тогда, когда последовательности чисел \((a_i)\) и \((b_i)\) пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что \(a_i = \lambda b_i\) для всех \(i\). Неравенство названо в честь французского математика Огюстена Луи Коши, опубликовавшего его в 1821 году в своём труде «Курс анализа». В контексте функционального анализа и теории гильбертовых пространств оно известно как неравенство Коши — Буняковского (по имени российского математика Виктора Яковлевича Буняковского, который независимо сформулировал его для интегралов в 1859 году) или неравенство Шварца (по имени немецкого математика Германа Шварца, разработавшего его для теории функций в 1885 году). Это неравенство является частным случаем более общего неравенства Гёльдера.

История

Первое доказательство неравенства для конечных сумм было дано Огюстеном Луи Коши в 1821 году в его учебнике «Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique». Коши использовал метод математической индукции, чтобы показать, что квадрат скалярного произведения не превосходит произведения длин векторов. В 1859 году Виктор Яковлевич Буняковский обобщил результат на случай интегралов, сформулировав его для непрерывных функций на отрезке. В 1885 году Герман Шварц, работая над задачами теории потенциала, независимо переоткрыл интегральную форму и дал её строгое доказательство. В русскоязычной математической литературе неравенство чаще всего называют неравенством Коши — Буняковского, в западной — неравенством Коши — Шварца. В 20-м веке неравенство стало ключевым инструментом в функциональном анализе, теории вероятностей и квантовой механике.

Формулировки

Конечномерный случай (для действительных чисел)

Для любых действительных чисел \(a_1, a_2, \dots, a_n\) и \(b_1, b_2, \dots, b_n\):

\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). \]

В векторной форме, если \(\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n)\) и \(\mathbf{b} = (b_1, \dots, b_n)\), то неравенство записывается как:

\[ |\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle| \le \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|, \]

где \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) — стандартное скалярное произведение в \(\mathbb{R}^n\), а \(\|\cdot\|\) — евклидова норма.

Интегральная форма (для функций)

Для действительных функций \(f(x)\) и \(g(x)\), интегрируемых по Лебегу на отрезке \([a, b]\) с квадратом:

\[ \left( \int_a^b f(x) g(x) \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \right) \left( \int_a^b [g(x)]^2 \, dx \right). \]

Равенство достигается, если \(f(x)\) и \(g(x)\) линейно зависимы почти всюду на \([a, b]\).

Обобщение на гильбертовы пространства

В произвольном гильбертовом пространстве \(H\) со скалярным произведением \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) и нормой \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) для любых элементов \(x, y \in H\):

\[ |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \cdot \|y\|. \]

Это фундаментальное свойство, из которого следуют все остальные формулировки.

Доказательства

Доказательство для конечных сумм (метод дискриминанта)

Рассмотрим квадратный трёхчлен относительно переменной \(t\):

\[ P(t) = \sum_{i=1}^{n} (a_i t - b_i)^2 = t^2 \sum_{i=1}^{n} a_i^2 - 2t \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + \sum_{i=1}^{n} b_i^2. \]

Так как \(P(t) \ge 0\) для всех действительных \(t\) (сумма квадратов неотрицательна), его дискриминант неположителен:

\[ D = \left( 2 \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 - 4 \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \le 0. \]

Отсюда следует:

\[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). \]

Равенство достигается, когда дискриминант равен нулю, то есть когда \(P(t)\) имеет единственный корень, что соответствует пропорциональности \(a_i\) и \(b_i\).

Доказательство для интегралов (метод дискриминанта)

Аналогично, для функций \(f\) и \(g\) рассматривается интеграл:

\[ \int_a^b (f(x) t - g(x))^2 \, dx \ge 0, \]

что приводит к квадратному неравенству относительно \(t\) с неотрицательным дискриминантом.

Примеры применения

В геометрии

Неравенство Коши — Буняковского позволяет доказать, что косинус угла между векторами в евклидовом пространстве по модулю не превосходит единицы:

\[ |\cos \theta| = \frac{|\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle|}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|} \le 1. \]

Это лежит в основе определения угла между векторами.

В теории вероятностей

Для случайных величин \(X\) и \(Y\) с конечными дисперсиями неравенство Коши — Буняковского даёт:

\[ |\text{Cov}(X, Y)| \le \sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}, \]

где \(\text{Cov}\) — ковариация, а \(\text{Var}\) — дисперсия. Отсюда следует, что коэффициент корреляции Пирсона \(\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}}\) удовлетворяет \(|\rho_{XY}| \le 1\).

В математическом анализе

Неравенство используется для оценки интегралов и рядов. Например, для ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}\) можно оценить:

\[ \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2} \right)^2 \le \left( \sum_{n=1}^{\infty} \sin^2 n \right) \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \right), \]

хотя в данном случае первая сумма расходится, что показывает важность условий применимости.

В квантовой механике

Неравенство Коши — Буняковского лежит в основе принципа неопределённости Гейзенберга. Для операторов координаты \(\hat{x}\) и импульса \(\hat{p}\) выполняется:

\[ (\Delta x)^2 (\Delta p)^2 \ge \left( \frac{1}{2i} \langle [\hat{x}, \hat{p}] \rangle \right)^2 = \frac{\hbar^2}{4}, \]

где \(\Delta x\) и \(\Delta p\) — среднеквадратичные отклонения, а \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\) — коммутатор.

Обобщения

Неравенство Гёльдера

Неравенство Коши — Буняковского является частным случаем неравенства Гёльдера для показателей \(p = q = 2\):

\[ \sum_{i=1}^{n} |a_i b_i| \le \left( \sum_{i=1}^{n} |a_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{i=1}^{n} |b_i|^q \right)^{1/q}, \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. \]

Неравенство Минковского

Из неравенства Коши — Буняковского выводится неравенство треугольника для нормы в гильбертовом пространстве:

\[ \|x + y\| \le \|x\| + \|y\|. \]

Неравенство для матриц

Для матриц \(A\) и \(B\) размера \(m \times n\) с действительными элементами выполняется:

\[ \text{tr}(A^T B)^2 \le \text{tr}(A^T A) \cdot \text{tr}(B^T B), \]

где \(\text{tr}\) — след матрицы.

Интересные факты

• Неравенство Коши — Буняковского является одним из наиболее часто используемых неравенств в математике, наравне с неравенством треугольника и неравенством Бернулли.
• В 2015 году группа математиков из Университета штата Огайо предложила новое доказательство неравенства, основанное на геометрических соображениях, что сократило количество шагов по сравнению с классическим методом дискриминанта.
• В русскоязычной литературе термин «неравенство Коши — Буняковского» часто используется для интегральной формы, а «неравенство Коши» — для дискретной, хотя строгого разделения нет.
• Неравенство имеет важное значение в теории оптимизации: оно лежит в основе метода наименьших квадратов, где минимизация суммы квадратов отклонений сводится к решению системы линейных уравнений.

Источники

• Коши, О. Л. «Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique». — 1821.
• Буняковский, В. Я. «Sur quelques inégalités concernant les intégrales définies». — Mémoires de l’Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg, 1859.
• Шварц, Г. «Über die Integration der partiellen Differentialgleichung \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)». — 1885.
• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. «Элементы теории функций и функционального анализа». — М.: Наука, 1976.
• Рудин, У. «Основы математического анализа». — М.: Мир, 1976.