Стратифицированная выборка

Стратифицированная выборка (стратификационная выборка, расслоённая выборка) — это метод вероятностной (случайной) выборки, при котором генеральная совокупность предварительно разбивается на непересекающиеся подгруппы (страты, от лат. stratum — слой, пласт), однородные по одному или нескольким существенным для исследования признакам, после чего из каждой страты извлекается случайная выборка. Основная цель стратификации — повышение точности оценок параметров генеральной совокупности за счёт уменьшения дисперсии выборочных оценок по сравнению с простой случайной выборкой того же объёма.

История и развитие метода

Идея расслоения совокупности на однородные группы для повышения эффективности выборки восходит к работам А. Н. Колмогорова и других математиков-статистиков начала XX века. Однако систематическое развитие метод стратифицированной выборки получил в 1930–1940-х годах в США в рамках государственной статистики, в частности при проектировании обследований безработицы и сельскохозяйственных переписей. Одним из пионеров применения метода считается статистик Джордж Гэллап, который в 1936 году успешно предсказал исход президентских выборов в США, используя стратифицированную выборку в опросах общественного мнения. В СССР стратифицированный отбор активно применялся с 1950-х годов в государственных выборочных обследованиях бюджетов домашних хозяйств и в сельскохозяйственной статистике.

Основные принципы

Стратифицированная выборка основана на разделении генеральной совокупности объёмом \(N\) на \(H\) страт с объёмами \(N_1, N_2, \dots, N_H\) (так что \(\sum_{h=1}^H N_h = N\)). Затем из каждой \(h\)-й страты независимо извлекается простая случайная выборка объёмом \(n_h\). Общий объём выборки \(n = \sum_{h=1}^H n_h\).

Ключевым требованием является однородность страт: при разбиении стремятся, чтобы внутри каждой страты элементы были максимально схожи по изучаемому признаку, а между стратами — различались. Это позволяет контролировать часть вариации признака на уровне страт и резко снижает случайную ошибку выборки.

Виды стратифицированного отбора

В зависимости от метода распределения объёма выборки между стратами выделяют:

Пропорциональное распределение

Объём выборки из каждой страты пропорционален её доле в генеральной совокупности: \(n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}\). Наиболее распространённый и простой в реализации способ. Он даёт самовзвешенную выборку (элементы имеют равные вероятности попадания).

Равномерное (равное) распределение

Объём выборки из каждой страты одинаков: \(n_h = \frac{n}{H}\). Применяется, когда страты мало различаются по величине или когда дисперсия в малых стратах очень велика.

Оптимальное распределение Неймана (распределение Неймана — Кокса)

Объём выборки из страты пропорционален произведению доли страты на стандартное отклонение признака в ней: \(n_h = n \cdot \frac{N_h \cdot S_h}{\sum_{h=1}^H N_h \cdot S_h}\), где \(S_h\) — выборочное стандартное отклонение (\(S_h^2\) — выборочная дисперсия) в \(h\)-й страте. Этот метод (распределение Неймана, 1934) минимизирует дисперсию оценок при фиксированном объёме выборки при условии, что затраты на измерение в разных стратах одинаковы.

Целевое распределение (диспропорциональное)

Объёмы \(n_h\) выбираются исходя из целей исследования, а не минимизации дисперсии. Например, для получения достаточной точности оценок для редких или труднодоступных подгрупп выборка перераспределяется в пользу малых страт. При таком подходе требуется введение весов (корректирующих коэффициентов) при расчёте общих статистик.

Распределение с учётом стоимости

Модификация оптимального распределения, при которой учитывается разная стоимость получения наблюдения в разных стратах \(C_h\). Целевая функция — минимизация дисперсии при фиксированном бюджете: \(n_h \propto \frac{N_h \cdot S_h}{\sqrt{C_h}}\).

Техника построения выборки

Процесс построения стратифицированной выборки включает следующие шаги:

1. Выделение стратифицирующих переменных. Выбираются признаки, по которым будет производиться разбиение. Обычно ими являются замкнутые категориальные (пол, возрастная группа, регион, тип предприятия) или квантифицируемые (размер дохода, уровень образования) переменные, для которых известен закон распределения в генеральной совокупности.
2. Построение фрейма выборки. Необходимо иметь полный список или базу данных (регистр) элементов внутри каждой страты.
3. Определение объёмов страт \(N_h\). Точность метода напрямую зависит от знания истинных размеров страт.
4. Расчёт объёмов выборок в стратах \(n_h\) в соответствии с выбранным видом распределения.
5. Извлечение элементов — внутри каждой страты проводится простая случайная или систематическая выборка.
6. Оценка параметров. Расчёт средних, долей, общей суммы и их дисперсий производится с учётом весов страт.

Математическая модель оценки

Если из \(h\)-й страты получена выборка \({(y_{h1}, y_{h2}, \dots, y_{hn_h})}\) и вычислено выборочное среднее \(\bar{y}_h = \frac{1}{n_h} \sum_{i=1}^{n_h} y_{hi}\), то оценка среднего по генеральной совокупности (\(\bar{Y}\)) вычисляется как взвешенное среднее стратифицированных средних:

\[ \bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^{H} W_h \cdot \bar{y}_h, \]

где \(W_h = N_h / N\) — вес (доля) \(h\)-й страты. Дисперсия этой оценки для случайного отбора внутри страт:

\[ D(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{H} W_h^2 \cdot \frac{S_h^2}{n_h} \cdot (1 - f_h), \]

где \(f_h = n_h / N_h\) — доля выборки в страте (поправка на конечную совокупность). Эта формула показывает, что при правильной стратификации дисперсия меньше, чем при простой случайной выборке, за счёт того, что межстровая компонента дисперсии исключается из ошибки.

Преимущества и недостатки

Преимущества

• Высокая точность и репрезентативность по сравнению с простой случайной выборкой того же объёма при условии адекватной стратификации.
• Возможность анализа подгрупп. Заранее обеспечивается достаточное количество наблюдений для анализа каждой страты (например, для малых регионов или возрастных групп).
• Уменьшение ошибки выборки. Позволяет добиться заданной точности при меньшем объёме выборки, что экономит ресурсы.
• Удобство организационных процедур. Отдельные страты могут обследоваться разными интервьюерами или в разное время без нарушения репрезентативности общей выборки.

Недостатки

• Требование полноты и точности фрейма выборки для каждой страты. Ошибки в данных о размерах страт приводят к смещению оценок.
• Сложность планирования. Требуется обоснованный выбор стратифицирующих переменных и знание дисперсий внутри страт (при оптимальном распределении).
• Неэффективность при слабой стратификации. Если выбранные страты плохо коррелируют с изучаемым признаком, выигрыш в точности может быть минимальным.
• Потеря точности при введении весов. В диспропорциональных выборках необходимо взвешивание, что может увеличить дисперсию оценок.

Применение

Стратифицированная выборка является одним из основных методов в:

• Социологических опросах и маркетинговых исследованиях. Например, при опросах избирателей — стратификация по региону, типу населённого пункта, полу и возрасту. В России широко используется в опросах ВЦИОМ (Всероссийский центр изучения общественного мнения) и Левада-Центр (признан в РФ иностранным агентом и нежелательной организацией).
• Государственной статистике. В выборочных обследованиях населения (доходы, расходы, занятость), проводимых Росстатом. Стратификация по федеральным округам, типу домохозяйства, крупности населённых пунктов.
• Эпидемиологии и медицине. При изучении распространённости заболеваний — стратификация по возрасту, полу, территории (город/село).
• Промышленности. При контроле качества продукции — стратификация по сменам, партиям, станкам.
• Биологии и экологии. При оценке численности популяций — стратификация по типам местообитаний.

Примеры стратифицирующих переменных

Связь с другими методами

Стратифицированная выборка часто комбинируется с кластерным и многостадийным отбором. В комплексных обследованиях (например, в общенациональных опросах домохозяйств) сначала проводится стратификация по регионам (страта), затем внутри страты — отбор кластеров (населённых пунктов), а внутри кластеров — отбор домохозяйств. Такой современный метод называется стратифицированным многостадийным (кластерным) отбором.

Источники

• Кокрен У. Методы выборочного исследования. — М.: Статистика, 1976.
• Мур Д., Норрис У., Уотсон Д. Статистика: методы выборочных исследований. — М.: Финансы и статистика, 1988.
• Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Математические методы в статистике: учебное пособие. — Новосибирск: НГТУ, 2009.
• Кокс Д. Р., Хинкли Д. В. Теоретическая статистика. — М.: Мир, 1982.
• Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей и математической статистики. — М.: Высшая школа, 1985.