Теорема Аполлония о медиане треугольника¶

Теорема Аполлония о медиане треугольника — классическое утверждение евклидовой геометрии, устанавливающее связь между длиной медианы треугольника и длинами его сторон. Для треугольника \(ABC\) с медианой \(AD\), проведённой к стороне \(BC\), справедливо равенство: \[ AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2). \] Поскольку \(D\) — середина \(BC\), то \(BD = DC = \frac{BC}{2}\), что позволяет записать теорему в эквивалентном виде: \[ AB^2 + AC^2 = 2\left(AD^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2\right). \]

¶Формулировка и следствия

Теорема названа в честь древнегреческого математика Аполлония Пергского (около 262 — около 190 гг. до н. э.), автора фундаментального трактата «Конические сечения». Однако само утверждение о медиане было известно ещё до него; в частности, его частный случай встречается в «Началах» Евклида (книга II, предложение 12–13), где рассматривается через теорему о проекциях.

Из теоремы Аполлония непосредственно выводится правило параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Если применить теорему к медианам треугольника, можно получить формулу для длины медианы через стороны: \[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}, \] где \(m_a\) — медиана, проведённая к стороне \(a\), а \(b\) и \(c\) — две другие стороны.

Кроме того, теорема служит основой для доказательства формулы Стюарта, которая обобщает её на случай произвольной точки на стороне треугольника, а также для вывода соотношений между медианами и сторонами в задачах на вычисление площадей и радиусов вписанных окружностей.

¶История и обобщения

Аполлоний Пергский систематизировал и доказал это утверждение в своём труде, хотя, по свидетельствам историков, оно использовалось и ранее — например, Архимедом. В средневековой исламской математике теорема была известна как «предложение о медиане» и применялась при решении задач астрономии и тригонометрии.

В современной математике теорема Аполлония рассматривается как частный случай более общего тождества для произвольной точки \(P\) на прямой \(BC\): \[ AB^2 \cdot PC + AC^2 \cdot BP = AP^2 \cdot BC + BP \cdot PC \cdot BC, \] известного как теорема Стюарта (1751). При \(BP = PC\) она сводится к теореме Аполлония.

Существует также векторная интерпретация: если \(M\) — середина отрезка \(BC\), то для любого вектора \(\vec{A}\) выполняется равенство \[ |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 = 2|\vec{AM}|^2 + \frac{1}{2}|\vec{BC}|^2, \] что является прямым следствием свойств скалярного произведения.

¶Применение

Теорема Аполлония широко используется:

• В планиметрии — для нахождения длин медиан, решения задач на доказательство равенств и неравенств, связанных с элементами треугольника.
• В аналитической геометрии — для вывода уравнений окружностей и эллипсов через фокальные свойства.
• В вычислительной геометрии — при триангуляции и построении сеток, где требуется вычислять длины отрезков по координатам вершин.
• В физике — при расчёте моментов инерции плоских фигур (теорема Гюйгенса — Штейнера является аналогом для моментов инерции, но математически родственна правилу параллелограмма).

¶Пример

Пусть в треугольнике \(ABC\) стороны \(AB = 7\), \(AC = 9\), а медиана \(AD = 6\). Тогда по теореме: \[ 7^2 + 9^2 = 2(6^2 + BD^2) \quad \Rightarrow \quad 130 = 2(36 + BD^2) \quad \Rightarrow \quad BD^2 = 29. \] Отсюда \(BD = \sqrt{29}\), а сторона \(BC = 2\sqrt{29}\). Такой подход позволяет находить неизвестные элементы треугольника без применения теоремы косинусов.

¶Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978.
• Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001.
• Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: ГИТТЛ, 1963.