Теорема Коши — Кантора

Теорема Коши — Кантора (также известная как принцип вложенных отрезков, лемма о вложенных отрезках, или аксиома Коши — Кантора) — фундаментальное утверждение математического анализа и теории вещественных чисел, устанавливающее условие существования общей точки у последовательности вложенных друг в друга замкнутых отрезков числовой прямой. Теорема является одним из эквивалентных выражений свойства полноты (непрерывности) множества действительных чисел.

Формулировка

Пусть дана последовательность отрезков \([a_1, b_1], [a_2, b_2], \dots, [a_n, b_n], \dots\) на числовой прямой \(\mathbb{R}\), удовлетворяющая двум условиям:

1. Вложенность: каждый последующий отрезок содержится в предыдущем, то есть для любого \(n \in \mathbb{N}\) выполняется \([a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]\).
2. Стремление длины к нулю: длина отрезков \(\ell_n = b_n - a_n\) стремится к нулю при \(n \to \infty\), то есть \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0\).

Тогда существует единственная точка \(c\), принадлежащая всем отрезкам одновременно: \(c \in \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n]\).

Иными словами, пересечение последовательности вложенных отрезков, длины которых неограниченно убывают, состоит ровно из одной точки.

История

Теорема носит имена двух выдающихся математиков XIX века: француза Огюстена Луи Коши (1789–1857) и немца Георга Кантора (1845–1918). Коши в своих работах по анализу (например, в «Курсе анализа» 1821 года) использовал идею вложенных отрезков для обоснования существования предела последовательности и доказательства теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Однако строгое аксиоматическое оформление и включение этого принципа в систему аксиом вещественных чисел принадлежит Кантору, который в 1872 году предложил одну из теорий построения действительных чисел (так называемые канторовы фундаментальные последовательности) и сформулировал принцип вложенных отрезков как аксиому непрерывности.

В современной математике теорема Коши — Кантора часто рассматривается как одно из следствий аксиомы полноты (принципа непрерывности) Дедекинда или аксиомы Архимеда. В разных учебных курсах она может выступать либо как аксиома, либо как доказываемая теорема.

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на свойство полноты множества действительных чисел и аксиому Архимеда.

Рассмотрим последовательность левых концов отрезков \(\{a_n\}\). По условию вложенности, эта последовательность является неубывающей (так как \(a_{n+1} \ge a_n\)) и ограниченной сверху (например, числом \(b_1\)). Следовательно, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел \(\lim_{n \to \infty} a_n = c\). Аналогично, последовательность правых концов \(\{b_n\}\) является невозрастающей и ограниченной снизу, поэтому существует предел \(\lim_{n \to \infty} b_n = d\).

Из условия вложенности следует, что \(a_n \le b_n\) для всех \(n\). Переходя к пределу в неравенстве, получаем \(c \le d\). Поскольку длина отрезка \(b_n - a_n\) стремится к нулю, то \(d - c = \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0\), откуда \(c = d\). Таким образом, \(c\) — общая точка всех отрезков. Единственность следует из того, что если бы существовали две различные точки \(c_1\) и \(c_2\), то длина отрезков не могла бы стать меньше расстояния между ними, что противоречит условию стремления длины к нулю.

Связь с полнотой вещественных чисел

Принцип вложенных отрезков является одним из эквивалентных выражений свойства полноты (непрерывности) множества действительных чисел \(\mathbb{R}\). В аксиоматическом построении анализа этот принцип может быть принят за аксиому, наряду с аксиомой Дедекинда и аксиомой полноты (существованием точной верхней грани). Вместе с аксиомой Архимеда он эквивалентен следующим утверждениям:

• Принцип Дедекинда (всякое сечение в множестве действительных чисел производит число).
• Теорема о существовании точной верхней грани у всякого непустого ограниченного сверху множества.
• Теорема Больцано — Вейерштрасса (всякая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность).
• Принцип сходимости Коши (критерий Коши сходимости последовательности).

На множестве рациональных чисел \(\mathbb{Q}\) теорема Коши — Кантора не выполняется. Например, последовательность отрезков \([1; 1.5], [1.4; 1.42], [1.414; 1.415], \dots\), аппроксимирующая число \(\sqrt{2}\), является вложенной и имеет длины, стремящиеся к нулю, но на \(\mathbb{Q}\) не существует рациональной точки, принадлежащей всем этим отрезкам, так как \(\sqrt{2}\) иррационально. Таким образом, теорема выделяет \(\mathbb{R}\) среди других упорядоченных полей.

Обобщения

Многомерный случай

Теорема Коши — Кантора обобщается на многомерные евклидовы пространства \(\mathbb{R}^n\). Вместо отрезков рассматриваются замкнутые \(n\)-мерные параллелепипеды (прямоугольники) или замкнутые шары. Если последовательность вложенных замкнутых ограниченных множеств (например, кубов) имеет диаметры, стремящиеся к нулю, то их пересечение состоит из единственной точки. Это свойство является следствием полноты \(\mathbb{R}^n\) как метрического пространства.

Полные метрические пространства

В общей топологии и функциональном анализе теорема обобщается на полные метрические пространства. В них аналогом вложенных отрезков служит последовательность вложенных замкнутых множеств, диаметры которых стремятся к нулю. Их пересечение непусто и состоит из одной точки. Это утверждение известно как принцип вложенных шаров или лемма о вложенных множествах. Однако в общем метрическом пространстве условие стремления диаметра к нулю является необходимым, но не достаточным без дополнительных условий (например, компактности). В полном метрическом пространстве теорема верна для последовательности замкнутых множеств, стремящихся к нулю по диаметру.

Применение

Теорема Коши — Кантора является инструментом для доказательства многих фундаментальных теорем анализа:

• Теорема Больцано — Коши (о промежуточном значении): непрерывная функция на отрезке принимает все значения между своими концами. Доказательство часто проводится методом деления отрезка пополам, что порождает вложенную последовательность отрезков, сходящуюся к искомой точке.
• Теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке функция достигает своего максимума и минимума. Доказательство также использует последовательное деление отрезка.
• Существование предела у монотонной ограниченной последовательности: классическое доказательство опирается на принцип вложенных отрезков.
• Существование корня уравнения: для нахождения приближенного решения уравнения \(f(x)=0\) методом бисекции (деления отрезка пополам) используется именно эта теорема для обоснования сходимости метода.
• Построение канторова множества: знаменитое канторово множество (канторова пыль) строится как пересечение последовательности вложенных отрезков, длины которых убывают. В этом случае пересечение не пусто, но состоит из несчетного множества точек (так как длины отрезков не стремятся к нулю, а убывают по геометрическому закону).

Вариации и замечания

• Если условие стремления длины к нулю заменить на более слабое — стремление к нулю диаметра, то пересечение может быть не точкой, а отрезком или более сложным множеством. Например, последовательность отрезков \([0, 1+1/n]\) вложена, но их пересечение — отрезок \([0, 1]\).
• Если отрезки не являются замкнутыми (например, интервалы), теорема неверна. Последовательность вложенных интервалов \((0, 1/n)\) имеет пустое пересечение, так как точка 0 не принадлежит ни одному интервалу.
• В неархимедовых упорядоченных полях (например, в поле гиперреальных чисел) теорема Коши — Кантора не выполняется, так как в них существуют бесконечно малые и бесконечно большие числа, и аксиома Архимеда не действует.

Источники

• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа» (том 1).
• Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа» (том 1).
• Зорич В. А. «Математический анализ» (часть 1).
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. «Элементы теории функций и функционального анализа».
• Рудин У. «Основы математического анализа».