Теорема Римана об устранимой особенности¶

Теорема Римана об устранимой особенности — утверждение комплексного анализа, устанавливающее условия, при которых изолированная особая точка аналитической функции может быть «устранена» путём доопределения функции до аналитической в этой точке. Теорема даёт критерий, позволяющий отличить устранимые особые точки от полюсов и существенно особых точек.

¶Формулировка

Пусть функция \( f(z) \) является аналитической (голоморфной) в проколотой окрестности точки \( a \in \mathbb{C} \), то есть в области \( 0 < |z - a| < r \) для некоторого \( r > 0 \). Точка \( a \) называется устранимой особой точкой функции \( f \), если существует такое комплексное число \( c \), что функция, определённая как

\[ F(z) = \begin{cases} f(z), & z \neq a, \\ c, & z = a, \end{cases} \]

является аналитической в полной окрестности точки \( a \).

Теорема Римана (также известная как теорема об устранимой особенности) утверждает: если функция \( f(z) \) аналитична в проколотой окрестности точки \( a \) и ограничена в этой окрестности, то \( a \) является устранимой особой точкой. Иными словами, существует аналитическое продолжение \( f \) на точку \( a \).

¶Доказательство (основная идея)

Доказательство опирается на интегральную формулу Коши и разложение в ряд Лорана. Пусть \( f \) ограничена в проколотой окрестности \( 0 < |z - a| < R \). Рассмотрим ряд Лорана функции \( f \) в этой окрестности:

\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - a)^n. \]

Коэффициенты Лорана вычисляются по формуле:

\[ c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}} \, d\zeta, \]

где \( \gamma \) — окружность радиуса \( \rho < R \) с центром в \( a \). Оценим коэффициенты для отрицательных \( n \). Для \( n = -1, -2, \ldots \) имеем:

\[ |c_n| \leq \frac{1}{2\pi} \cdot \max_{|\zeta - a| = \rho} |f(\zeta)| \cdot \frac{2\pi \rho}{\rho^{n+1}} = M \rho^{-n}, \]

где \( M \) — верхняя граница \( |f| \) в окрестности. Поскольку \( -n \geq 1 \), при \( \rho \to 0 \) правая часть стремится к нулю, следовательно, \( c_n = 0 \) для всех \( n < 0 \). Таким образом, ряд Лорана содержит только неотрицательные степени \( (z - a) \), что означает, что \( f \) аналитически продолжается в точку \( a \).

¶Следствия и связь с другими теоремами

¶Критерий устранимости

Теорема Римана даёт простой практический критерий: если функция имеет предел в особой точке (конечный), то особенность устранима. Однако условие ограниченности является более слабым, чем существование предела, и в комплексном анализе они эквивалентны для аналитических функций.

¶Отличие от полюсов и существенно особых точек

• Если \( f(z) \) неограничена в любой проколотой окрестности \( a \), но существует конечный предел \( \lim_{z \to a} (z - a)^m f(z) \) для некоторого натурального \( m \), то \( a \) — полюс порядка \( m \).
• Если \( f(z) \) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при \( z \to a \), то \( a \) — существенно особая точка (теорема Сохоцкого — Вейерштрасса).

¶Теорема Лиувилля и устранимые особенности

Теорема Римана тесно связана с теоремой Лиувилля: если целая функция ограничена на всей комплексной плоскости, то она постоянна. Устранимая особенность на бесконечности также может быть рассмотрена с помощью теоремы Римана.

¶Примеры

¶Пример 1: Устранимая особенность

Функция \( f(z) = \frac{\sin z}{z} \) имеет особую точку в \( z = 0 \), так как в нуле знаменатель обращается в ноль. Однако \( \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1 \), и функция ограничена в окрестности нуля. По теореме Римана, \( z = 0 \) — устранимая особая точка. Действительно, доопределив \( f(0) = 1 \), получаем целую функцию.

¶Пример 2: Полюс

Функция \( f(z) = \frac{1}{z} \) неограничена в окрестности нуля, и её предел при \( z \to 0 \) бесконечен. Особенность не устранима — это полюс первого порядка.

¶Пример 3: Существенно особая точка

Функция \( f(z) = e^{1/z} \) имеет существенно особую точку в \( z = 0 \). В любой окрестности нуля она принимает все комплексные значения, кроме, возможно, одного (теорема Пикара). Условие ограниченности не выполнено.

¶Применение в комплексном анализе

Теорема Римана об устранимой особенности является фундаментальным инструментом при:

• Классификации особых точек — позволяет быстро определить тип изолированной особенности по поведению функции.
• Аналитическом продолжении — даёт возможность доопределять функции в точках, где они изначально не определены, сохраняя аналитичность.
• Доказательстве других теорем — например, теоремы о вычетах, теоремы Мореры, принципа максимума модуля.
• Изучении мероморфных функций — устранимые особенности не считаются особыми точками в классическом смысле, поэтому мероморфная функция может быть определена так, чтобы иметь только полюсы.

¶Обобщения

¶В многомерном комплексном анализе

Для функций нескольких комплексных переменных существует аналог теоремы Римана: если функция аналитична в проколотой окрестности точки и ограничена, то особенность устранима. Однако в многомерном случае особые точки могут быть более сложными (например, целые аналитические множества).

¶В теории распределений

Теорема Римана может быть интерпретирована в контексте обобщённых функций: если распределение, заданное аналитической функцией вне точки, имеет ограниченную особенность, то оно совпадает с аналитической функцией во всей области.

¶Историческая справка

Теорема была сформулирована и доказана Бернхардом Риманом в его докторской диссертации 1851 года «Основы общей теории функций одной комплексной переменной» (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse). Риман заложил основы геометрической теории функций комплексного переменного, и теорема об устранимой особенности стала одним из ключевых результатов, связывающих аналитичность и ограниченность.

¶Интересные факты

• Теорема Римана является частным случаем более общего принципа: если функция аналитична в области, за исключением точки, и имеет в этой точке конечный предел, то она аналитична во всей области.
• В учебной литературе теорему часто называют «теоремой об устранимой особенности» или «теоремой Римана о стираемой особенности».
• Существует обратная теорема: если особенность устранима, то функция обязательно ограничена в её окрестности (это следует из непрерывности аналитической функции).

¶Источники

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1985.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1984.
• Riemann B. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. — Göttingen, 1851.