Теорема Тевенена — принцип эквивалентного источника¶

Теорема Тевенена — фундаментальное положение теории электрических цепей, устанавливающее, что любая линейная электрическая цепь с двумя выводами (двухполюсник) может быть заменена эквивалентной схемой, состоящей из одного источника напряжения и одного последовательно соединённого резистора. Теорема названа в честь французского инженера Леона Шарля Тевенена, опубликовавшего её в 1883 году. Она является одной из основных теорем анализа линейных цепей наряду с теоремой Нортона и принципом суперпозиции.

¶Формулировка

Для произвольной линейной цепи, содержащей источники напряжения и тока (независимые и зависимые) и резистивные элементы, относительно двух выделенных зажимов (например, точек A и B) справедливо следующее утверждение: вся цепь может быть заменена эквивалентным генератором с электродвижущей силой \( E_{th} \) и внутренним сопротивлением \( R_{th} \).

• ЭДС эквивалентного источника (\( E_{th} \), напряжение Тевенена) равна напряжению холостого хода между зажимами A и B исходной цепи, то есть напряжению, которое измеряется на разомкнутых выводах.
• Внутреннее сопротивление (\( R_{th} \), сопротивление Тевенена) равно сопротивлению, измеренному между зажимами A и B при условии, что все независимые источники в цепи заменены их внутренними сопротивлениями (идеальные источники напряжения — короткозамкнуты, идеальные источники тока — разомкнуты). Зависимые источники при этом сохраняются.

¶Алгоритм расчёта

Для практического применения теоремы используется следующая последовательность действий:

1. Выделяется интересующая ветвь (или нагрузка), которая исключается из цепи.
2. Определяется напряжение холостого хода \( U_{xx} \) на разомкнутых зажимах.
3. Рассчитывается входное сопротивление \( R_{in} \) со стороны разомкнутых зажимов при обесточенных независимых источниках.
4. Составляется эквивалентная схема: последовательное соединение \( E_{th} \) и \( R_{th} \), к которым подключается исключённая ранее нагрузка.
5. Ток через нагрузку вычисляется по простой формуле: \( I = \frac{E_{th}}{R_{th} + R_{load}} \).

¶Связь с теоремой Нортона

Теорема Тевенена тесно связана с теоремой Нортона, которая формулирует аналогичную замену, но с использованием источника тока, включённого параллельно с сопротивлением. Переход между двумя представлениями осуществляется через преобразование источника: ток Нортона \( I_N \) равен \( E_{th} / R_{th} \), а сопротивление Нортона \( R_N \) совпадает с \( R_{th} \). Обе теоремы являются взаимными следствиями и применяются в зависимости от удобства расчёта.

¶Применение

Теорема находит широкое применение в электротехнике и электронике:

• Упрощение анализа сложных схем: позволяет свести разветвлённую цепь к простому делителю напряжения, что особенно полезно при многократном расчёте тока через изменяющуюся нагрузку (например, при выборе сопротивления нагрузки для получения максимальной мощности).
• Согласование нагрузки: из теоремы следует условие передачи максимальной мощности в нагрузку — равенство сопротивления нагрузки внутреннему сопротивлению источника (\( R_{load} = R_{th} \)).
• Анализ линейных цепей с обратной связью: в электронных усилителях теорема применяется для оценки выходного сопротивления и коэффициента усиления.
• Моделирование источников сигнала: любой реальный источник (например, микрофон, датчик или генератор) может быть представлен в виде идеального источника ЭДС с последовательным внутренним сопротивлением, что упрощает расчёт сопряжения с последующими каскадами.

¶Ограничения

Теорема Тевенена применима исключительно к линейным цепям, то есть цепям, состоящим из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и источников, параметры которых не зависят от тока или напряжения. Для нелинейных элементов (диодов, транзисторов, ламп) теорема в классической формулировке неприменима, однако может использоваться для линеаризации характеристик в рабочей точке (метод малого сигнала). Кроме того, теорема справедлива только для цепей, в которых отсутствует взаимная индуктивность между выделенной ветвью и остальной частью схемы.

¶История

Леон Шарль Тевенен, французский телеграфный инженер, сформулировал свою теорему в 1883 году в статье, опубликованной в журнале «Journal of Physics: Theory and Applications». Однако известно, что аналогичный результат был получен Германом фон Гельмгольцем ещё в 1853 году, поэтому в ряде европейских источников теорема называется теоремой Гельмгольца—Тевенена. В англоязычной литературе также встречается название «теорема об эквивалентном источнике».