Теория идеальных чисел

Теория идеальных чисел — раздел алгебраической теории чисел, изучающий свойства идеалов в кольцах целых алгебраических чисел. Возникла в середине XIX века как попытка восстановить свойство однозначности разложения на простые множители, которое не выполняется в кольцах целых чисел некоторых алгебраических полей. Теория идеальных чисел была разработана немецким математиком Эрнстом Эдуардом Куммером и впоследствии обобщена в рамках общей теории идеалов, созданной Рихардом Дедекиндом.

История

Предпосылки возникновения

В классической арифметике, в кольце целых чисел Z, любое целое число однозначно (с точностью до порядка сомножителей и знака) разлагается на произведение простых чисел — это основная теорема арифметики. Однако при переходе к кольцам целых чисел алгебраических полей, например, к кольцу Z[√-5] (целые числа вида a + b√-5, где a, b ∈ Z), однозначность разложения теряется. Например, число 6 в этом кольце можно разложить двумя различными способами: 6 = 2·3 = (1+√-5)·(1-√-5). При этом элементы 2, 3, 1+√-5 и 1-√-5 являются простыми в Z[√-5] (не разлагаются на нетривиальные множители). Это нарушение однозначности создавало серьёзные препятствия для развития алгебраической теории чисел, в частности, для доказательства Великой теоремы Ферма.

Работы Куммера

В 1840-х годах немецкий математик Эрнст Куммер, пытаясь доказать Великую теорему Ферма для регулярных простых чисел, столкнулся с проблемой неоднозначности разложения в круговых полях (полях, полученных присоединением корней из единицы). Для преодоления этой трудности Куммер ввёл понятие «идеальных чисел» — гипотетических объектов, которые, будучи добавленными к кольцу, восстанавливают однозначность разложения. Фактически, Куммер показал, что если рассматривать не сами числа, а их «идеальные делители», то каждое алгебраическое число можно разложить на простые идеальные множители единственным образом. Куммер разработал теорию для круговых полей и доказал, что для регулярных простых чисел Великая теорема Ферма верна.

Теория идеалов Дедекинда

В 1870-х годах Рихард Дедекинд, ученик и друг Куммера, дал строгое и общее изложение теории идеальных чисел, заменив интуитивное понятие «идеального числа» на формальное понятие идеала в кольце. Дедекинд определил идеал как подмножество кольца, замкнутое относительно сложения и умножения на элементы кольца. Он показал, что в кольце целых чисел алгебраического поля (кольце Дедекинда) каждый ненулевой идеал однозначно разлагается на произведение простых идеалов. Это обобщение известно как теорема об однозначности разложения на простые идеалы. Теория Дедекинда стала основой современной коммутативной алгебры.

Основные понятия

Идеалы

В современной алгебре идеал кольца R — это подмножество I ⊂ R, такое что:

• I является аддитивной подгруппой R (замкнуто относительно сложения и содержит 0);
• для любого a ∈ I и любого r ∈ R произведение ra ∈ I (свойство поглощения умножением).

Идеалы делятся на собственные (не совпадающие с R) и тривиальные (нулевой идеал {0} и само кольцо R). Простые идеалы — это идеалы, факторкольцо по которым является областью целостности; максимальные идеалы — идеалы, факторкольцо по которым является полем.

Кольца Дедекинда

Кольцо целых чисел алгебраического поля (например, кольцо целых чисел Гаусса Z[i]) является примером кольца Дедекинда — целостного кольца, в котором каждый ненулевой собственный идеал однозначно разлагается на произведение простых идеалов. Кольца Дедекинда характеризуются следующими свойствами:

• они нётеровы (любая возрастающая цепь идеалов стабилизируется);
• они целозамкнуты (все элементы поля, целые над кольцом, уже лежат в нём);
• каждый ненулевой простой идеал является максимальным.

Разложение на простые идеалы

Основная теорема теории идеалов утверждает: в кольце Дедекинда каждый ненулевой собственный идеал I можно представить в виде произведения простых идеалов: I = P₁^e₁ · P₂^e₂ · … · Pₖ^eₖ, где Pᵢ — различные простые идеалы, eᵢ — натуральные числа (показатели). Это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей. Таким образом, однозначность разложения, утраченная на уровне элементов, восстанавливается на уровне идеалов.

Применение

Доказательство Великой теоремы Ферма

Теория идеальных чисел была создана Куммером именно для нужд доказательства Великой теоремы Ферма. Куммер показал, что для регулярных простых чисел (то есть таких p, что p не делит порядок группы классов кругового поля Q(ζ_p)) уравнение x^p + y^p = z^p не имеет нетривиальных целых решений. Это был первый серьёзный прогресс в решении проблемы, поставленной Пьером Ферма в 1637 году.

Алгебраическая теория чисел

Теория идеалов является фундаментом современной алгебраической теории чисел. Она используется для изучения:

• Группы классов идеалов — меры отклонения кольца целых чисел от факториальности (однозначности разложения на простые элементы). Конечность группы классов идеалов для любого числового поля была доказана Дедекиндом.
• Теории полей классов — описания абелевых расширений числовых полей с помощью иделей и идеалов.
• Диофантовых уравнений — многие задачи о целочисленных решениях уравнений сводятся к изучению идеалов в соответствующих кольцах.

Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия

Понятие идеала, обобщённое на произвольные коммутативные кольца, является центральным в коммутативной алгебре. В алгебраической геометрии идеалы соответствуют алгебраическим множествам: каждому алгебраическому множеству в аффинном пространстве соответствует идеал в кольце многочленов, состоящий из всех многочленов, обращающихся в нуль на этом множестве. Теория идеалов позволяет изучать геометрические объекты алгебраическими методами.

Примеры

Кольцо целых чисел Гаусса

Кольцо Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} является кольцом Дедекинда. В нём выполняется однозначность разложения на простые элементы (оно факториально). Например, число 5 = (2+i)(2-i) — разложение на простые гауссовы числа. Теория идеалов в этом кольце тривиальна, так как каждый идеал является главным (порождается одним элементом).

Кольцо Z[√-5]

В кольце Z[√-5] однозначность разложения на простые элементы отсутствует, как показано выше. Однако разложение на простые идеалы однозначно. Например, идеал (6) (порождаемый числом 6) разлагается как: (6) = (2, 1+√-5)² · (3, 1+√-5) · (3, 1-√-5), где (2, 1+√-5) и (3, 1±√-5) — простые идеалы. Это разложение объясняет два различных разложения числа 6 на множители.

Критика и ограничения

Теория идеальных чисел Куммера в её первоначальном виде была ограничена круговыми полями. Обобщение Дедекинда на произвольные алгебраические поля потребовало введения абстрактного понятия идеала, что вызвало критику со стороны некоторых математиков, предпочитавших более конструктивные подходы. Кроме того, теория идеалов не решает всех проблем: например, в некоторых кольцах (не являющихся кольцами Дедекинда) однозначность разложения на простые идеалы также может нарушаться. В XX веке были разработаны более общие теории, такие как теория дивизоров и теория этальных когомологий, которые расширяют идеи Куммера и Дедекинда.

Интересные факты

• Термин «идеальное число» был введён Куммером в 1846 году. Сам Куммер рассматривал идеальные числа как гипотетические объекты, существование которых постулируется для восстановления однозначности разложения.
• Дедекинд в 1871 году впервые дал строгое определение идеала, используя теоретико-множественный язык. Позднее Эмми Нётер обобщила теорию идеалов на произвольные коммутативные кольца.
• Теория идеальных чисел сыграла ключевую роль в развитии алгебраической геометрии. Например, понятие схемы, введённое Александром Гротендиком, основано на идее рассмотрения спектра кольца — множества всех простых идеалов.

Источники

• Эдвардс Г. «Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел». — М.: Мир, 1980.
• Айерлэнд К., Роузен М. «Классическое введение в современную теорию чисел». — М.: Мир, 1987.
• Ленг С. «Алгебраическая теория чисел». — М.: Мир, 1969.
• Вейль А. «Основы теории чисел». — М.: Мир, 1972.
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. «Теория чисел». — М.: Наука, 1985.