Эрнст Куммер

Эрнст Куммер — немецкий математик, профессор, иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук, известный работами в области алгебры, теории чисел и геометрии. Наиболее значимый вклад Куммера связан с созданием теории идеальных чисел, которая позволила продвинуться в доказательстве Великой теоремы Ферма, а также с исследованиями гипергеометрических рядов и алгебраических кривых.

Биография

Эрнст Эдуард Куммер родился 29 января 1810 года в городе Зорау (ныне Жары, Польша) в семье врача. После смерти отца в 1819 году семья переехала в Берлин, где Куммер поступил в гимназию, а затем в Берлинский университет. В университете он изучал теологию и философию, но под влиянием лекций математика Иоганна Петера Густава Лежёна Дирихле увлёкся математикой. В 1831 году Куммер защитил докторскую диссертацию, посвящённую гипергеометрическим рядам.

С 1832 по 1842 год Куммер преподавал в гимназии в Либнице (Нижняя Силезия), где среди его учеников был будущий знаменитый математик Леопольд Кронекер. В 1842 году он получил должность профессора математики в Бреславльском университете (ныне Вроцлав). В 1855 году, после смерти Дирихле, Куммер был приглашён на кафедру математики в Берлинский университет, где проработал до выхода на пенсию в 1883 году. В Берлине он также стал директором Математического семинара, основанного совместно с Карлом Вейерштрассом.

Куммер был избран членом многих академий наук, включая Прусскую, Французскую, Петербургскую (1863) и Лондонское королевское общество. Он скончался 14 мая 1893 года в Берлине.

Научная деятельность

Теория идеальных чисел (1840-е годы)

Главным достижением Куммера стало создание теории идеальных чисел, которая стала важным шагом в развитии алгебраической теории чисел. Работа была мотивирована попытками доказать Великую теорему Ферма (утверждение, что уравнение \(x^n + y^n = z^n\) не имеет целых положительных решений при \(n > 2\)). К тому времени было известно, что для некоторых простых показателей \(n\) (например, \(n = 3, 5, 7\)) теорема доказана, но общий случай оставался открытым.

Куммер заметил, что стандартные методы доказательства, основанные на разложении на множители в кольцах целых чисел, содержащих корни из единицы, сталкиваются с проблемой неединственности разложения на простые множители. Для преодоления этой трудности он ввёл понятие «идеальных чисел» (позднее развитое в теорию идеалов Рихардом Дедекиндом). Идеальные числа позволили восстановить свойство однозначности разложения на простые множители в определённых кольцах алгебраических целых чисел.

Куммер определил класс так называемых «регулярных простых чисел» — простых чисел \(p\), для которых числители чисел Бернулли \(B_2, B_4, \dots, B_{p-3}\) не делятся на \(p\). Он доказал, что для регулярных простых чисел Великая теорема Ферма верна. Это стало крупнейшим продвижением в её доказательстве в XIX веке. Куммер показал, что единственным нерегулярным простым числом меньше 100 является 37, 59 и 67. Его работа заложила основы для дальнейших исследований в теории чисел.

Гипергеометрические ряды

В начале своей карьеры Куммер занимался гипергеометрическими рядами — бесконечными суммами вида \( {}_2F_1(a,b;c;z) \), которые обобщают многие элементарные функции. В 1836 году он опубликовал фундаментальную работу, в которой систематизировал и классифицировал 24 решения гипергеометрического дифференциального уравнения. Эти решения, известные как «куммеровы решения», выражаются через гипергеометрические ряды с различными параметрами и аргументами. Куммер также ввёл преобразования, позволяющие переходить от одного решения к другому. Эти результаты до сих пор используются в теории специальных функций и математической физике.

Алгебраические кривые и поверхность Куммера

Куммер внёс вклад в алгебраическую геометрию, изучая поверхности четвёртого порядка с 16 особыми точками. Такая поверхность, известная как поверхность Куммера, была впервые описана им в 1864 году. Она представляет собой частный случай абелевой поверхности и тесно связана с теорией тэта-функций. Поверхность Куммера имеет 16 двойных точек (конических узлов) и является проективным образом якобиана гиперэллиптической кривой рода 2. Эта поверхность изучается в современной алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем.

Другие работы

Куммер также занимался теорией чисел, в частности, исследованием чисел Бернулли, которые играют ключевую роль в его теории идеальных чисел. Он получил критерии для регулярности простых чисел, основанные на свойствах этих чисел. Кроме того, Куммер работал над теорией линейных дифференциальных уравнений и интегрированием некоторых классов уравнений в квадратурах.

Педагогическая деятельность

Куммер был известен как выдающийся педагог. В Берлинском университете он совместно с Вейерштрассом руководил Математическим семинаром, который стал одним из ведущих центров математического образования в Европе. Среди его учеников были такие математики, как Герман Шварц, Фердинанд Фробениус, Пауль Гордан и другие. Куммер уделял большое внимание строгости изложения и ясности доказательств, что оказало влияние на развитие математического образования в Германии.

Признание

• Иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук (1863).
• Член Прусской академии наук (1855).
• Иностранный член Лондонского королевского общества (1863).
• Член Французской академии наук (1868).
• Медаль Копли (1874) — высшая награда Лондонского королевского общества.
• В честь Куммера названы: поверхность Куммера, функция Куммера (вырожденная гипергеометрическая функция), преобразование Куммера, а также кратер на Луне.

Интересные факты

• Куммер был известен своей рассеянностью. Согласно анекдоту, однажды на уроке он, вычисляя на доске, сказал: «7 умножить на 9 равно 67», а когда ученик поправил его, ответил: «Ну, всё равно 67 — это правильный ответ для этой задачи».
• Куммер был одним из первых математиков, кто систематически использовал понятие «идеала» в теории чисел, хотя сам термин «идеал» был введён позже Дедекиндом.
• Его работа по теории идеальных чисел была высоко оценена современниками, включая Карла Фридриха Гаусса, который, однако, не оставил подробных комментариев.

Источники

• Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1989.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М.: ИЛ, 1947.
• Edwards H. M. Fermat’s Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. — Springer, 1977.
• Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• Биография Эрнста Куммера на сайте MacTutor History of Mathematics Archive.