Теория Янга — Миллса

Теория Янга — Миллса — это неабелева калибровочная теория поля, лежащая в основе современной физики элементарных частиц. Она описывает взаимодействие фундаментальных частиц (фермионов) посредством обмена калибровочными бозонами — переносчиками взаимодействия. В отличие от абелевой квантовой электродинамики (КЭД), основанной на группе U(1), теория Янга — Миллса использует неабелевы калибровочные группы, такие как SU(2) для слабого взаимодействия и SU(3) для сильного взаимодействия (квантовая хромодинамика, КХД). Ключевой особенностью теории является нелинейность уравнений движения, обусловленная самодействием калибровочных бозонов, что приводит к явлению конфайнмента и асимптотической свободы.

История

Предпосылки

В 1954 году китайско-американский физик Чжэньнин Янг и американский физик Роберт Миллс предложили обобщение калибровочной инвариантности, известной из электродинамики. В КЭД калибровочная группа U(1) является абелевой (коммутативной), что означает, что преобразования можно выполнять в любом порядке, а фотоны не взаимодействуют друг с другом. Янг и Миллс задались вопросом: можно ли построить теорию, в которой калибровочная группа является неабелевой, то есть её генераторы не коммутируют? Такая теория должна описывать взаимодействие, переносчики которого сами несут заряд (цветовой или слабый) и, следовательно, взаимодействуют друг с другом.

Создание теории

Первоначальная статья Янга и Миллса «Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance» была опубликована в 1954 году. В ней они предложили калибровочную теорию на основе группы SU(2) для описания изотопического спина протона и нейтрона. Однако, в то время не было известно, как ввести массы калибровочных бозонов (W- и Z-бозонов) без нарушения калибровочной инвариантности. Теория оставалась математически красивой, но не имела прямого физического приложения в течение почти двух десятилетий.

Развитие и подтверждение

В 1960-х годах Питер Хиггс, Роберт Браут, Франсуа Энглер и другие разработали механизм спонтанного нарушения симметрии (механизм Хиггса), который позволил придать массу калибровочным бозонам, сохраняя калибровочную инвариантность. В 1967 году Стивен Вайнберг и Абдус Салам независимо друг от друга объединили теорию Янга — Миллса для слабого взаимодействия (группа SU(2)) с квантовой электродинамикой (группа U(1)) в единую теорию электрослабого взаимодействия. Эта теория предсказала существование массивных W- и Z-бозонов, которые были открыты в 1983 году в ЦЕРНе, что принесло Вайнбергу, Саламу и Глэшоу Нобелевскую премию по физике за 1979 год.

Параллельно, в начале 1970-х годов, Дэвид Гросс, Фрэнк Вильчек и Дэвид Политцер открыли свойство асимптотической свободы в неабелевых калибровочных теориях, что позволило построить квантовую хромодинамику (КХД) — теорию сильного взаимодействия, основанную на группе SU(3). КХД стала неотъемлемой частью Стандартной модели физики элементарных частиц.

Математическая формулировка

Калибровочная группа и поля

В основе теории Янга — Миллса лежит компактная калибровочная группа Ли G. Для Стандартной модели это произведение групп SU(3)×SU(2)×U(1). С каждым генератором группы \( T^a \) (где \( a = 1, 2, ..., \dim G \)) связывается калибровочное поле \( A_\mu^a(x) \), которое в квантовой теории представляет собой калибровочный бозон. Поле \( A_\mu^a \) является векторным (спин 1) и преобразуется по присоединённому представлению группы.

Лагранжиан

Лагранжиан теории Янга — Миллса (без учёта материи) записывается в виде:

\[ \mathcal{L}_{YM} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{a\mu\nu} \]

где \( F_{\mu\nu}^a \) — тензор напряжённости поля, определяемый как:

\[ F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + g f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c \]

Здесь:

• \( g \) — константа связи (калибровочная константа).
• \( f^{abc} \) — структурные константы группы Ли, определяющие её неабелевость. Если \( f^{abc} = 0 \), теория сводится к абелевой (как в КЭД).

Ключевое отличие от КЭД — квадратичный член \( g f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c \) в тензоре напряжённости. Он приводит к появлению в лагранжиане членов, содержащих три и четыре калибровочных поля, что соответствует самодействию глюонов (в КХД) или W- и Z-бозонов (в электрослабой теории).

Уравнения движения

Уравнения движения (уравнения Янга — Миллса) получаются из лагранжиана путём варьирования по \( A_\mu^a \):

\[ D_\mu F^{a\mu\nu} = 0 \]

где \( D_\mu \) — ковариантная производная, действующая на поле в присоединённом представлении:

\[ D_\mu^{ab} = \delta^{ab} \partial_\mu + g f^{acb} A_\mu^c \]

В присутствии источников (токов \( J_\mu^a \)) уравнение принимает вид:

\[ D_\mu F^{a\mu\nu} = J^{a\nu} \]

Свойства

Асимптотическая свобода

Одним из важнейших свойств неабелевых калибровочных теорий является асимптотическая свобода: при высоких энергиях (малых расстояниях) константа взаимодействия \( g \) становится малой, и частицы ведут себя как почти свободные. Это свойство было доказано в 1973 году Гроссом, Вильчеком и Политцером. Оно объясняет, почему кварки внутри адронов можно рассматривать как точечные частицы при глубоконеупругом рассеянии.

Конфайнмент

Противоположное свойство — конфайнмент (удержание цвета): при низких энергиях (больших расстояниях) константа связи становится большой, и цветные частицы (кварки и глюоны) не могут существовать в свободном виде. Они всегда связаны в бесцветные адроны (мезоны и барионы). Конфайнмент является следствием нелинейности уравнений Янга — Миллса и до сих пор не имеет строгого математического доказательства, хотя подтверждён многочисленными численными расчётами на решётках (квантовая хромодинамика на решётке).

Масса калибровочных бозонов

В чистой теории Янга — Миллса калибровочные бозоны безмассовы. Однако, в электрослабой теории они приобретают массу через механизм Хиггса: калибровочные поля «поглощают» голдстоуновские бозоны, становясь массивными. В КХД глюоны остаются безмассовыми, но их распространение на больших расстояниях ограничено конфайнментом.

Применение

Стандартная модель

Теория Янга — Миллса является математическим каркасом Стандартной модели физики элементарных частиц. Она описывает три из четырёх фундаментальных взаимодействий:

• Сильное взаимодействие: описывается КХД — теорией Янга — Миллса с группой SU(3). Переносчики — глюоны (8 типов).
• Слабое взаимодействие: описывается теорией Янга — Миллса с группой SU(2) (после спонтанного нарушения симметрии). Переносчики — W⁺, W⁻ и Z⁰-бозоны.
• Электромагнитное взаимодействие: описывается абелевой теорией U(1) (КЭД), которая является частным случаем теории Янга — Миллса.

Квантовая хромодинамика (КХД)

КХД — наиболее известное и изученное приложение теории Янга — Миллса. Она объясняет структуру адронов (протонов, нейтронов, мезонов) и их взаимодействие. КХД также используется для описания кварк-глюонной плазмы — состояния вещества при экстремально высоких температурах и плотностях, которое могло существовать в ранней Вселенной.

Теории Великого объединения (GUT)

Теории Великого объединения пытаются объединить сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия в единую калибровочную теорию с более крупной группой, например, SU(5) или SO(10). Эти теории также основаны на математическом аппарате теории Янга — Миллса.

Математические аспекты

Проблема существования и массовой щели

Одной из нерешённых проблем математической физики является проблема существования и массовой щели для теории Янга — Миллса в четырёхмерном пространстве-времени. Она входит в список «Проблем тысячелетия» Института Клэя. Суть задачи: доказать, что для любой компактной калибровочной группы существует квантовая теория поля, удовлетворяющая аксиомам Вайтмана, и что в спектре масс этой теории существует ненулевая минимальная масса (массовая щель). Для КХД массовая щель соответствует массе лёгчайшего адрона (пиона). Решение этой проблемы имеет огромное значение для понимания конфайнмента и структуры вакуума.

Инстантоны и топологические решения

Теория Янга — Миллса допускает существование топологически нетривиальных классических решений — инстантонов. Они представляют собой локализованные в пространстве-времени конфигурации полей с ненулевым топологическим зарядом (числом Черна — Саймонса). Инстантоны играют важную роль в понимании неабелева вакуума и нарушения CP-инвариантности (сильная CP-проблема).

Интересные факты

• Теория Янга — Миллса является неабелевой, то есть её группа некоммутативна. Это означает, что порядок применения калибровочных преобразований важен, что приводит к сложной структуре взаимодействий.
• За открытие асимптотической свободы Гросс, Вильчек и Политцер получили Нобелевскую премию по физике в 2004 году.
• Математическая структура теории Янга — Миллса тесно связана с теорией связностей на главных расслоениях в дифференциальной геометрии.
• Несмотря на то, что теория была создана в 1954 году, её экспериментальное подтверждение (открытие W- и Z-бозонов) произошло только через 30 лет.

Источники

• C. N. Yang, R. L. Mills. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance // Physical Review. — 1954. — Vol. 96, № 1. — P. 191–195.
• M. E. Peskin, D. V. Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory. — Westview Press, 1995.
• S. Weinberg. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge University Press, 1995–2000. — Vol. 1–3.
• A. M. Поляков. Калибровочные поля и струны. — М.: Мир, 1995.
• Институт Клэя. Проблема Янга — Миллса (Millennium Problem).