Ковариантная производная

Ковариантная производная — это обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях, учитывающее изменение компонент тензора как при переходе от точки к точке, так и вследствие кривизны пространства (или, в общем случае, связности). В отличие от обычной частной производной, ковариантная производная тензора является тензором того же типа, что и исходный объект, что делает её незаменимым инструментом в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и калибровочных теориях поля.

Определение и мотивация

В евклидовом пространстве или в плоском пространстве Минковского частная производная скалярной функции даёт ковектор, а производная векторного поля — тензор второго ранга. Однако на произвольном римановом многообразии (или в пространстве-времени с кривизной) частная производная компонент вектора не является тензором: при переходе к новым координатам закон преобразования содержит дополнительные члены, связанные с производными матрицы перехода. Ковариантная производная вводится так, чтобы результат дифференцирования тензора снова был тензором.

Формально ковариантная производная определяется как оператор \(\nabla\), удовлетворяющий следующим свойствам:

• Линейность: \(\nabla_X (aY + bZ) = a \nabla_X Y + b \nabla_X Z\) для любых векторных полей \(X, Y, Z\) и чисел \(a, b\).
• Правило Лейбница: \(\nabla_X (fY) = (X f) Y + f \nabla_X Y\), где \(f\) — гладкая функция.
• Тензорность по \(X\): \(\nabla_{fX} Y = f \nabla_X Y\).
• Отсутствие кручения (для связности Леви-Чивиты): \(\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]\).

Символы Кристоффеля

В локальных координатах \(\{x^\mu\}\) ковариантная производная векторного поля \(V = V^\mu \partial_\mu\) по направлению координатного базиса \(\partial_\nu\) записывается как:

\[ \nabla_\nu V^\mu = \partial_\nu V^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} V^\lambda, \]

где \(\Gamma^\mu_{\nu\lambda}\) — символы Кристоффеля (коэффициенты связности). Для связности Леви-Чивиты (метрической и без кручения) они выражаются через метрический тензор \(g_{\mu\nu}\):

\[ \Gamma^\mu_{\nu\lambda} = \frac{1}{2} g^{\mu\rho} \left( \partial_\nu g_{\lambda\rho} + \partial_\lambda g_{\nu\rho} - \partial_\rho g_{\nu\lambda} \right). \]

Для ковектора (1-формы) \(\omega = \omega_\mu dx^\mu\) ковариантная производная имеет вид:

\[ \nabla_\nu \omega_\mu = \partial_\nu \omega_\mu - \Gamma^\lambda_{\nu\mu} \omega_\lambda. \]

Для тензора произвольного ранга \((p, q)\) ковариантная производная добавляет один символ Кристоффеля с плюсом для каждого верхнего индекса и один с минусом для каждого нижнего.

Геометрическая интерпретация

Ковариантная производная измеряет скорость изменения тензорного поля вдоль кривой с учётом параллельного переноса. Если задано векторное поле \(X\) и кривая \(\gamma(t)\) с касательным вектором \(\dot{\gamma}\), то ковариантная производная вдоль кривой определяется как:

\[ \frac{DV}{dt} = \nabla_{\dot{\gamma}} V. \]

Поле называется параллельно переносимым вдоль \(\gamma\), если \(\frac{DV}{dt} = 0\). В искривлённом пространстве параллельный перенос зависит от пути, что и приводит к понятию кривизны.

Связь с тензором кривизны Римана

Коммутатор ковариантных производных на векторном поле даёт тензор кривизны Римана:

\[ [\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\lambda = R^\lambda_{\ \rho\mu\nu} V^\rho, \]

где

\[ R^\lambda_{\ \rho\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\lambda_{\nu\rho} - \partial_\nu \Gamma^\lambda_{\mu\rho} + \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} \Gamma^\sigma_{\nu\rho} - \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} \Gamma^\sigma_{\mu\rho}. \]

Тензор кривизны полностью характеризует локальную геометрию многообразия. Если он равен нулю, то многообразие локально изометрично плоскому пространству, и ковариантная производная сводится к обычной частной производной в подходящих координатах.

Ковариантная производная в общей теории относительности

В общей теории относительности (ОТО) гравитация описывается как искривление пространства-времени. Ковариантная производная используется для записи уравнений Эйнштейна:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \]

где \(R_{\mu\nu}\) — тензор Риччи (свёртка тензора Римана), \(R\) — скалярная кривизна, \(\Lambda\) — космологическая постоянная, \(T_{\mu\nu}\) — тензор энергии-импульса. Ковариантное сохранение энергии-импульса выражается как \(\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0\).

Также ковариантная производная необходима для уравнения геодезических:

\[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\lambda}{d\tau} = 0, \]

которое описывает движение свободных пробных частиц в искривлённом пространстве-времени.

Ковариантная производная в калибровочных теориях

В квантовой теории поля и калибровочных теориях (например, в электродинамике или хромодинамике) ковариантная производная обобщается на случай внутренних симметрий. Для поля материи \(\psi\) с зарядом \(q\) в электромагнитном поле ковариантная производная имеет вид:

\[ D_\mu \psi = \partial_\mu \psi - i q A_\mu \psi, \]

где \(A_\mu\) — вектор-потенциал электромагнитного поля. В неабелевых калибровочных теориях (например, в квантовой хромодинамике) ковариантная производная содержит матрицы генераторов группы и калибровочные поля:

\[ D_\mu = \partial_\mu - i g A_\mu^a T^a, \]

где \(T^a\) — генераторы калибровочной группы, \(g\) — константа связи. Калибровочная инвариантность требует, чтобы производная преобразовывалась ковариантно относительно локальных преобразований симметрии.

Ковариантная производная в римановой геометрии

В римановой геометрии ковариантная производная (связность Леви-Чивиты) является единственной метрической связностью без кручения. Метричность означает, что \(\nabla_\mu g_{\nu\lambda} = 0\), то есть метрический тензор ковариантно постоянен. Это условие позволяет измерять длины и углы при параллельном переносе.

Примеры вычислений

Пример 1: Сфера \(S^2\)

На двумерной сфере радиуса \(R\) в координатах \((\theta, \varphi)\) метрика имеет вид:

\[ ds^2 = R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2). \]

Ненулевые символы Кристоффеля:

\[ \Gamma^\theta_{\varphi\varphi} = -\sin\theta \cos\theta, \quad \Gamma^\varphi_{\theta\varphi} = \Gamma^\varphi_{\varphi\theta} = \cot\theta. \]

Ковариантная производная вектора \(V = V^\theta \partial_\theta + V^\varphi \partial_\varphi\):

\[ \nabla_\theta V^\theta = \partial_\theta V^\theta, \quad \nabla_\theta V^\varphi = \partial_\theta V^\varphi + \cot\theta \, V^\varphi, \] \[ \nabla_\varphi V^\theta = \partial_\varphi V^\theta - \sin\theta \cos\theta \, V^\varphi, \quad \nabla_\varphi V^\varphi = \partial_\varphi V^\varphi + \cot\theta \, V^\theta. \]

Пример 2: Плоское пространство в криволинейных координатах

В полярных координатах \((r, \varphi)\) на плоскости метрика: \(ds^2 = dr^2 + r^2 d\varphi^2\). Символы Кристоффеля:

\[ \Gamma^r_{\varphi\varphi} = -r, \quad \Gamma^\varphi_{r\varphi} = \Gamma^\varphi_{\varphi r} = \frac{1}{r}. \]

Ковариантная производная вектора \(V = V^r \partial_r + V^\varphi \partial_\varphi\):

\[ \nabla_r V^r = \partial_r V^r, \quad \nabla_r V^\varphi = \partial_r V^\varphi + \frac{1}{r} V^\varphi, \] \[ \nabla_\varphi V^r = \partial_\varphi V^r - r V^\varphi, \quad \nabla_\varphi V^\varphi = \partial_\varphi V^\varphi + \frac{1}{r} V^r. \]

Обобщения

Понятие ковариантной производной обобщается на:

• Связность на векторном расслоении — абстрактная конструкция, не обязательно связанная с метрикой.
• Спинорная связность — для спинорных полей в искривлённом пространстве-времени.
• Суперсвязность — в супергравитации и суперструнах.

Историческая справка

Понятие ковариантной производной было введено в конце XIX века Грегорио Риччи-Курбастро и развито его учеником Туллио Леви-Чивитой. В 1915 году Альберт Эйнштейн использовал этот аппарат для формулировки общей теории относительности. В 1950-х годах Чэнь Нин Янг и Роберт Миллс обобщили ковариантную производную на неабелевы калибровочные группы, что привело к созданию калибровочных теорий поля.

Применения

• Общая теория относительности — описание гравитации.
• Квантовая теория поля — калибровочные теории, стандартная модель.
• Дифференциальная геометрия — изучение кривизны, геодезических, потоков.
• Математическая физика — теория струн, супергравитация.
• Компьютерная графика — моделирование искривлённых поверхностей.

Источники

1. М. М. Постников, «Риманова геометрия», 1998.
2. С. Хокинг, Дж. Эллис, «Крупномасштабная структура пространства-времени», 1977.
3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, «Теория поля», 1973.
4. Ч. Н. Янг, Р. Миллс, «Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance», Physical Review, 1954.
5. В. И. Арнольд, «Математические методы классической механики», 1989.