Тест Бреуша — Пагана

Тест Бреуша — Пагана (англ. Breusch–Pagan test) — это статистическая процедура, предназначенная для проверки наличия гетероскедастичности в регрессионной модели. Гетероскедастичность означает, что дисперсия случайных ошибок (остатков) модели не является постоянной для всех наблюдений, что нарушает одну из ключевых предпосылок классической линейной регрессии (гомоскедастичность). Тест был независимо предложен экономистами Тревором Бреушем (Австралия) и Адрианом Паганом (Великобритания) в 1979 году. Он относится к классу тестов, основанных на вспомогательной регрессии квадратов остатков на исходные регрессоры.

История и происхождение

В 1979 году в журнале Econometrica была опубликована статья Тревора Бреуша и Адриана Пагана «A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation». В ней авторы предложили простой в вычислительном отношении метод, который не требует априорного знания о форме гетероскедастичности, в отличие от более ранних подходов (например, теста Голдфелда — Куандта). Тест быстро вошёл в стандартный набор инструментов эконометрического анализа, особенно после того, как был реализован в популярных статистических пакетах. Впоследствии были разработаны модификации, в частности тест Уайта (White test), который является более общим и не предполагает конкретной функциональной формы зависимости дисперсии от регрессоров.

Математическая формулировка

Рассмотрим линейную регрессионную модель:

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \dots + \beta_k x_{ki} + \varepsilon_i \]

где \( \varepsilon_i \) — ошибки, \( i = 1, \dots, n \). Нулевая гипотеза \( H_0 \) теста Бреуша — Пагана утверждает, что дисперсия ошибок постоянна (гомоскедастична):

\[ H_0: \text{Var}(\varepsilon_i) = \sigma^2 \quad \text{для всех } i \]

Альтернативная гипотеза \( H_1 \) предполагает, что дисперсия зависит от некоторых переменных \( z_{1i}, \dots, z_{mi} \) (обычно это те же регрессоры \( x \), но может быть и их подмножество):

\[ \text{Var}(\varepsilon_i) = h(\alpha_0 + \alpha_1 z_{1i} + \dots + \alpha_m z_{mi}) \]

где \( h \) — некоторая гладкая функция (обычно линейная или экспоненциальная).

Алгоритм проведения теста

1. Оценка исходной модели. С помощью метода наименьших квадратов (МНК) оценивается исходная регрессия, и вычисляются остатки \( e_i = y_i - \hat{y}_i \).
2. Расчёт квадратов остатков. Вычисляются \( e_i^2 \).
3. Вспомогательная регрессия. Строится регрессия квадратов остатков на выбранные переменные \( z \):

\[ e_i^2 = \gamma_0 + \gamma_1 z_{1i} + \dots + \gamma_m z_{mi} + u_i \] где \( u_i \) — ошибка вспомогательной регрессии.

1. Вычисление тестовой статистики. Статистика теста Бреуша — Пагана (обозначаемая \( LM \) или \( BP \)) рассчитывается как:

\[ LM = n \cdot R^2_{\text{aux}} \] где \( n \) — число наблюдений, а \( R^2_{\text{aux}} \) — коэффициент детерминации вспомогательной регрессии.

1. Принятие решения. При справедливости нулевой гипотезы статистика \( LM \) асимптотически распределена как \( \chi^2 \) (хи-квадрат) с \( m \) степенями свободы. Если \( LM \) превышает критическое значение \( \chi^2_{1-\alpha}(m) \) (или \( p \)-значение меньше уровня значимости \( \alpha \)), нулевая гипотеза о гомоскедастичности отвергается.

Свойства и ограничения

Достоинства

• Простота реализации. Тест требует лишь оценки двух регрессий (основной и вспомогательной) и вычисления \( R^2 \).
• Асимптотическая обоснованность. При больших выборках распределение статистики хорошо аппроксимируется \( \chi^2 \)-распределением.
• Гибкость. В качестве переменных \( z \) можно выбирать любые факторы, предположительно влияющие на дисперсию.

Недостатки

• Чувствительность к нормальности. Тест Бреуша — Пагана строго обоснован при предположении о нормальном распределении ошибок. При сильных отклонениях от нормальности (например, при асимметрии или толстых хвостах) тест может давать искажённые результаты (завышенный уровень ошибки I рода). В таких случаях рекомендуется использовать тест Уайта или тест Голдфелда — Куандта.
• Спецификация вспомогательной регрессии. Если форма зависимости дисперсии от \( z \) выбрана неверно (например, пропущена нелинейность), тест может потерять мощность. Тест Уайта, который включает все регрессоры, их квадраты и перекрёстные произведения, является более общей альтернативой.
• Малая выборка. При малом объёме выборки асимптотическое приближение может быть неточным. Для малых выборок существуют поправки (например, тест Бреуша — Пагана — Годфри, основанный на F-статистике).

Модификации

Тест Бреуша — Пагана — Годфри (BPG)

Для улучшения свойств на малых выборках часто используется F-версия теста. Статистика вычисляется как: \[ F = \frac{R^2_{\text{aux}} / m}{(1 - R^2_{\text{aux}}) / (n - m - 1)} \] которая при нулевой гипотезе имеет F-распределение с \( (m, n - m - 1) \) степенями свободы. Эта версия менее чувствительна к отклонениям от нормальности.

Тест Уайта

Тест Уайта (White test, 1980) является обобщением теста Бреуша — Пагана. Во вспомогательной регрессии используются все регрессоры, их квадраты и попарные произведения. Это позволяет выявить более сложные формы гетероскедастичности, но приводит к быстрой потере степеней свободы при большом числе регрессоров.

Применение в эконометрике

Тест Бреуша — Пагана является стандартным этапом диагностики регрессионных моделей в эконометрике, финансах, макроэкономике и других областях, где используются линейные модели. Практическое применение включает:

• Проверка качества модели. Если гетероскедастичность обнаружена, это может указывать на неправильную спецификацию модели (например, пропущенные переменные, неверную функциональную форму).
• Выбор метода оценки. При наличии гетероскедастичности обычный МНК остаётся несмещённым, но перестаёт быть эффективным (оценки дисперсий коэффициентов смещены). В таких случаях применяют:
• Робастные стандартные ошибки (стандартные ошибки Уайта, или гетероскедастически-состоятельные стандартные ошибки).
• Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК), если известна структура гетероскедастичности.
• Обобщённый метод наименьших квадратов (ОМНК) при известной ковариационной матрице ошибок.
• Эмпирические исследования. В статьях по экономике и финансам тест Бреуша — Пагана часто приводится в таблицах диагностики регрессий.

Пример интерпретации

Пусть исследователь оценивает регрессию зависимости заработной платы от уровня образования, опыта работы и возраста. После оценки он проводит тест Бреуша — Пагана, используя в качестве \( z \) все три регрессора. Получена статистика \( LM = 12.5 \) при \( m = 3 \) степенях свободы. Критическое значение \( \chi^2_{0.95}(3) \approx 7.81 \). Так как \( 12.5 > 7.81 \), нулевая гипотеза о гомоскедастичности отвергается на 5%-ном уровне значимости. Это означает, что дисперсия ошибок непостоянна, и для получения корректных стандартных ошибок коэффициентов следует использовать робастные оценки.

Связь с другими тестами

• Тест Голдфелда — Куандта (Goldfeld–Quandt test) — более старый тест, который требует упорядочивания наблюдений и деления выборки на части. Он менее универсален, но может быть более мощным при определённых формах гетероскедастичности (например, пропорциональной одной переменной).
• Тест Парка (Park test) — предполагает логарифмическую зависимость дисперсии от регрессора.
• Тест Глейзера (Glejser test) — использует регрессию абсолютных значений остатков на регрессоры.

Интересные факты

• Тест Бреуша — Пагана является частным случаем теста множителей Лагранжа (LM-теста) для проверки ограничений на параметры модели.
• В статистическом пакете R тест реализован в функции bptest() из пакета lmtest. В Stata — командой estat hettest после регрессии.
• Адриан Паган (род. 1947) — известный австралийский экономист, специалист по эконометрике и макроэкономике. Тревор Бреуш (род. 1946) — также австралийский экономист, внёсший вклад в теорию временных рядов.
• Тест иногда называют тестом Бреуша — Пагана — Годфри, хотя Годфри (Leslie Godfrey) внёс вклад в развитие тестов на автокорреляцию, а не на гетероскедастичность.

Источники

• Breusch, T. S., & Pagan, A. R. (1979). A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation. Econometrica, 47(5), 1287–1294.
• Greene, W. H. (2018). Econometric Analysis (8th ed.). Pearson.
• Wooldridge, J. M. (2019). Introductory Econometrics: A Modern Approach (7th ed.). Cengage Learning.
• White, H. (1980). A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity. Econometrica, 48(4), 817–838.