Точный критерий Фишера

Точный критерий Фишера (критерий Фишера — Ирвина, англ. Fisher's exact test) — это статистический критерий значимости, используемый для анализа таблиц сопряжённости 2×2 (две категориальные переменные, каждая с двумя уровнями). В отличие от критерия χ² (хи-квадрат), который основан на аппроксимации распределения, точный критерий Фишера вычисляет точную вероятность (p-значение) наблюдения полученной или более экстремальной таблицы при условии, что нулевая гипотеза об отсутствии связи между переменными верна. Критерий не требует больших объёмов выборки и применяется, когда ожидаемые частоты в любой ячейке таблицы менее 5, что делает его предпочтительным для анализа малых выборок.

История

Критерий был предложен британским статистиком и биологом Рональдом Фишером (Ronald Fisher) в 1935 году в книге «The Design of Experiments» (рус. «Планирование экспериментов»). Фишер разработал его для анализа данных из экспериментов по дегустации чая, в которых проверялась способность испытуемого различать, налито ли молоко в чай или чай в молоко. Впоследствии критерий был обобщён на случай таблиц большего размера (например, 3×3) и получил название точного критерия Фишера — Ирвина (Fisher — Irwin test), поскольку Джозеф Ирвин (Joseph Irwin) независимо предложил аналогичный метод.

Основные принципы

Нулевая и альтернативная гипотезы

• Нулевая гипотеза (H₀): две категориальные переменные независимы (нет связи между ними). В таблице 2×2 это означает, что распределение одной переменной не зависит от распределения другой.
• Альтернативная гипотеза (H₁): переменные связаны (есть статистически значимая ассоциация).

Гипергеометрическое распределение

Критерий основан на гипергеометрическом распределении. Пусть имеется таблица сопряжённости 2×2 с фиксированными маргинальными суммами (суммы по строкам и столбцам). При условии истинности H₀ вероятность наблюдения конкретной таблицы вычисляется по формуле:

\[ P = \frac{ (a+b)! \cdot (c+d)! \cdot (a+c)! \cdot (b+d)! }{ a! \cdot b! \cdot c! \cdot d! \cdot n! } \]

где:

• \(a, b, c, d\) — частоты в ячейках таблицы;
• \(a+b\) — сумма первой строки, \(c+d\) — сумма второй строки, \(a+c\) — сумма первого столбца, \(b+d\) — сумма второго столбца;
• \(n = a+b+c+d\) — общее количество наблюдений.

Вычисление p-значения

P-значение — это сумма вероятностей всех таблиц, которые имеют ту же или более экстремальную конфигурацию (то есть с таким же или более сильным отклонением от ожидаемых значений) при тех же маргинальных суммах. Для одностороннего теста учитываются таблицы, отклоняющиеся в одну сторону, для двустороннего — в обе стороны.

Применение

Когда использовать точный критерий Фишера

• Малые выборки: когда общий объём выборки менее 20 или ожидаемые частоты в любой ячейке менее 5. В таких случаях аппроксимация χ² даёт неточные результаты.
• Таблицы 2×2: критерий изначально предназначен для таблиц с двумя строками и двумя столбцами.
• Редкие события: когда частоты в ячейках малы (например, 0, 1, 2).

Области применения

• Медицина: анализ эффективности лечения (например, выздоровление/невыздоровление в группах плацебо и препарата).
• Биология: сравнение частот мутаций в разных популяциях.
• Социология: изучение связи между социальными факторами (например, пол и голосование).
• Психология: анализ результатов экспериментов с малым числом участников.

Пример

Рассмотрим гипотетический эксперимент: 10 пациентов разделены на две группы — 5 получают лекарство, 5 — плацебо. Результаты: в группе лекарства выздоровели 4, не выздоровел 1; в группе плацебо выздоровел 1, не выздоровели 4. Таблица сопряжённости:

Маргинальные суммы фиксированы. Вычисляем вероятность данной таблицы по формуле Фишера:

\[ P = \frac{5! \cdot 5! \cdot 5! \cdot 5!}{4! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 4! \cdot 10!} = \frac{120 \cdot 120 \cdot 120 \cdot 120}{24 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 24 \cdot 3628800} = \frac{207360000}{2090188800} \approx 0.0992 \]

Для двустороннего теста необходимо также учесть таблицы, которые более экстремальны (например, 5/0 и 0/5). Сумма вероятностей всех таких таблиц даёт p-значение ≈ 0.206. Если уровень значимости α = 0.05, то p > 0.05, и нулевая гипотеза не отвергается: нет статистически значимых доказательств эффективности лекарства.

Сравнение с другими критериями

Критерий χ² (хи-квадрат)

• Преимущества точного критерия Фишера: не требует аппроксимации, точен для малых выборок, нечувствителен к малым ожидаемым частотам.
• Недостатки: вычислительно сложен для больших таблиц (например, 5×5) и больших выборок, так как требует перебора всех возможных таблиц с фиксированными маргинальными суммами. Для больших выборок (n > 40) χ² даёт практически те же результаты, но быстрее.

Критерий Макнемара

Используется для парных данных (например, «до/после»), в то время как точный критерий Фишера — для независимых групп.

Ограничения

• Фиксированные маргинальные суммы: критерий предполагает, что суммы по строкам и столбцам фиксированы экспериментально. В реальных исследованиях это редко выполняется, но критерий остаётся робастным к небольшим отклонениям.
• Только для таблиц 2×2: для таблиц большего размера (например, 3×3) существуют обобщения (точный критерий Фишера — Ирвина для таблиц r×c), но они требуют значительных вычислительных ресурсов.
• Чувствительность к нулевым частотам: если одна из ячеек равна 0, p-значение может быть крайне малым, что может вводить в заблуждение при интерпретации.

Программная реализация

Точный критерий Фишера реализован во всех основных статистических пакетах:

• R: функция fisher.test() (пакет stats).
• Python: scipy.stats.fisher_exact (библиотека SciPy).
• SPSS: в меню «Анализ» → «Описательные статистики» → «Таблицы сопряжённости» → «Статистики» → «Точный критерий Фишера».
• SAS: процедура FREQ с опцией FISHER.

Источники

• Fisher, R. A. (1935). The Design of Experiments. Edinburgh: Oliver & Boyd.
• Irwin, J. O. (1935). «Tests of significance for differences between percentages based on small numbers». Metron, 12, 83–94.
• Agresti, A. (2002). Categorical Data Analysis (2nd ed.). Wiley.
• McDonald, J. H. (2014). Handbook of Biological Statistics (3rd ed.). Sparky House Publishing.
• Учебное пособие: Гланц, С. (1999). Медико-биологическая статистика. Практика.