Циклическая группа

Циклическая группа — в теории групп, группа, все элементы которой являются степенями (в мультипликативной записи) или кратными (в аддитивной записи) одного фиксированного элемента, называемого образующим (или порождающим) элементом. Циклические группы являются простейшим классом групп и играют фундаментальную роль в алгебре, теории чисел и криптографии.

Определение и основные свойства

Группа \( G \) называется циклической, если существует такой элемент \( g \in G \), что для любого элемента \( a \in G \) найдётся целое число \( n \) (положительное, отрицательное или ноль), такое что \( a = g^n \) (в мультипликативной записи) или \( a = n \cdot g \) (в аддитивной записи). Элемент \( g \) называется образующим (или порождающим) элементом группы \( G \).

В мультипликативной записи циклическая группа обозначается как \( \langle g \rangle = \{ g^n \mid n \in \mathbb{Z} \} \). В аддитивной записи — как \( \langle g \rangle = \{ n \cdot g \mid n \in \mathbb{Z} \} \).

Ключевые свойства

1. Коммутативность (абелевость). Любая циклическая группа является абелевой, то есть операция в ней коммутативна: \( g^m \cdot g^n = g^{m+n} = g^n \cdot g^m \).
2. Порядок группы. Порядок циклической группы может быть конечным или бесконечным.

• Если группа бесконечна, то все степени образующего элемента различны, и группа изоморфна аддитивной группе целых чисел \( (\mathbb{Z}, +) \).
• Если группа конечна порядка \( n \), то \( g^n = e \) (где \( e \) — единичный элемент), и группа состоит из элементов \( \{ e, g, g^2, \dots, g^{n-1} \} \). Такая группа изоморфна аддитивной группе вычетов по модулю \( n \) \( (\mathbb{Z}_n, +) \).

1. Подгруппы. Каждая подгруппа циклической группы сама является циклической. Более того, для любого делителя \( d \) порядка \( n \) конечной циклической группы существует ровно одна подгруппа порядка \( d \). В бесконечной циклической группе подгруппы имеют вид \( \langle g^k \rangle \) для любого натурального \( k \), и все они изоморфны самой группе.
2. Образующие элементы. Количество образующих элементов конечной циклической группы порядка \( n \) равно значению функции Эйлера \( \varphi(n) \). Элемент \( g^k \) является образующим тогда и только тогда, когда \( \gcd(k, n) = 1 \). В бесконечной циклической группе образующими являются только \( g \) и \( g^{-1} \).

Примеры циклических групп

Аддитивные группы

• Группа целых чисел \( (\mathbb{Z}, +) \). Это бесконечная циклическая группа. Образующими элементами являются числа 1 и -1.
• Группа вычетов по модулю \( n \) \( (\mathbb{Z}_n, +) \). Это конечная циклическая группа порядка \( n \). Образующими являются все числа \( k \), такие что \( \gcd(k, n) = 1 \). Например, для \( n = 6 \) образующими будут 1 и 5 (так как 5 ≡ -1 mod 6).

Мультипликативные группы

• Группа корней из единицы. Множество комплексных чисел, являющихся корнями \( n \)-й степени из единицы: \( \{ e^{2\pi i k / n} \mid k = 0, 1, \dots, n-1 \} \), образует конечную циклическую группу порядка \( n \) относительно умножения. Образующим является, например, \( e^{2\pi i / n} \).
• Мультипликативная группа поля. Для любого конечного поля \( \mathbb{F}_q \) его мультипликативная группа \( \mathbb{F}_q^\times \) (все ненулевые элементы поля) является циклической группой порядка \( q-1 \). Этот факт является фундаментальным в теории конечных полей и криптографии.
• Группа вращений правильного \( n \)-угольника. Вращения плоскости, переводящие правильный \( n \)-угольник в себя, образуют циклическую группу порядка \( n \).

Классификация и изоморфизмы

С точки зрения теории групп, все циклические группы одного порядка изоморфны. Таким образом, существует только два типа циклических групп с точностью до изоморфизма:

1. Бесконечная циклическая группа, изоморфная \( (\mathbb{Z}, +) \).
2. Конечная циклическая группа порядка \( n \), изоморфная \( (\mathbb{Z}_n, +) \).

Это означает, что любую циклическую группу можно рассматривать как одну из этих двух моделей, что упрощает их изучение.

Применение в алгебре и криптографии

Теория чисел

Циклические группы лежат в основе многих теорем теории чисел. Например, малая теорема Ферма и теорема Эйлера могут быть переформулированы как утверждения о порядке элементов в мультипликативной группе вычетов по модулю \( n \). Понятие первообразного корня по модулю простого числа \( p \) эквивалентно понятию образующего элемента циклической группы \( \mathbb{Z}_p^\times \).

Криптография

Циклические группы являются основой для многих криптографических систем с открытым ключом.

• Протокол Диффи — Хеллмана. Безопасность этого протокола основана на сложности задачи дискретного логарифмирования в циклической группе. Стороны договариваются о циклической группе \( G \) с образующим \( g \), затем обмениваются значениями \( g^a \) и \( g^b \), чтобы вычислить общий секрет \( g^{ab} \).
• Криптосистема Эль-Гамаля. Эта система шифрования также использует циклические группы и задачу дискретного логарифмирования.
• Криптография на эллиптических кривых (ECC). Хотя группа точек эллиптической кривой не является циклической в общем случае, она часто содержит большую циклическую подгруппу, которая и используется в криптографических протоколах (ECDH, ECDSA).

Теорема о структуре конечных абелевых групп

Циклические группы являются «кирпичиками» для построения всех конечных абелевых групп. Фундаментальная теорема о конечных абелевых группах утверждает, что любая конечная абелева группа изоморфна прямому произведению конечных циклических групп. Это разложение является единственным с точностью до порядка сомножителей. Таким образом, изучение циклических групп является ключом к пониманию всех конечных абелевых групп.

Источники

1. Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2013.
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — М.: Физматлит, 2004.
3. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
4. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.