Умножение вектора на скаляр¶

Умножение вектора на скаляр — это одна из основных операций векторной алгебры, в результате которой каждый компонент исходного вектора умножается на заданное скалярное число (действительное или комплексное). Операция позволяет изменять длину (модуль) вектора, а в случае умножения на отрицательный скаляр — также менять его направление на противоположное. Результатом умножения является новый вектор, коллинеарный исходному.

¶Определение и обозначение

Пусть задан вектор \(\mathbf{a}\) в n-мерном пространстве (например, на плоскости или в трёхмерном пространстве) и скаляр \(k\) (действительное число). Тогда произведением вектора \(\mathbf{a}\) на скаляр \(k\) называется вектор \(\mathbf{b}\), обозначаемый как \(k\mathbf{a}\) или \(\mathbf{a}k\), такой что:

Если \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\), то \(\mathbf{b} = (k a_1, k a_2, \dots, k a_n)\).
Длина (модуль) вектора \(\mathbf{b}\) равна \(|k| \cdot |\mathbf{a}|\), где \(|\mathbf{a}|\) — длина исходного вектора.
Направление вектора \(\mathbf{b}\) совпадает с направлением \(\mathbf{a}\), если \(k > 0\); противоположно направлению \(\mathbf{a}\), если \(k < 0\); если \(k = 0\), результатом является нулевой вектор.

В геометрической интерпретации умножение на скаляр \(k\) растягивает вектор в \(|k|\) раз (при \(|k| > 1\)) или сжимает (при \(0 < |k| < 1\)), а также может отражать его относительно начала координат (при \(k < 0\)).

¶Свойства операции

Умножение вектора на скаляр обладает рядом алгебраических свойств, которые делают его линейной операцией:

Ассоциативность относительно скаляров: \((k_1 k_2) \mathbf{a} = k_1 (k_2 \mathbf{a})\).
Дистрибутивность относительно сложения векторов: \(k (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = k\mathbf{a} + k\mathbf{b}\).
Дистрибутивность относительно сложения скаляров: \((k_1 + k_2) \mathbf{a} = k_1 \mathbf{a} + k_2 \mathbf{a}\).
Умножение на единицу: \(1 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{a}\).
Умножение на ноль: \(0 \cdot \mathbf{a} = \mathbf{0}\) (нулевой вектор).
Умножение на отрицательное число: \((-1) \cdot \mathbf{a} = -\mathbf{a}\) (вектор, противоположный \(\mathbf{a}\)).

Эти свойства следуют непосредственно из определения покомпонентного умножения и свойств чисел. Вместе с операцией сложения векторов умножение на скаляр образует структуру векторного пространства.

¶Геометрическая интерпретация

В двумерном и трёхмерном пространствах умножение вектора на скаляр наглядно интерпретируется геометрически:

Если \(k > 1\), вектор удлиняется, сохраняя направление. Например, вектор \(\mathbf{a}\) длиной 2 единицы при \(k = 3\) превращается в вектор длиной 6 единиц, направленный так же.
Если \(0 < k < 1\), вектор укорачивается, направление не меняется.
Если \(k < 0\), вектор меняет направление на противоположное, а его длина умножается на \(|k|\). Например, при \(k = -2\) вектор становится вдвое длиннее и направлен в противоположную сторону.
Если \(k = 0\), результатом является нулевой вектор — точка в начале координат.

Векторы, полученные умножением одного и того же исходного вектора на различные скаляры, лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Такие векторы называются коллинеарными.

¶Примеры

¶Пример 1 (двумерное пространство)

Дан вектор \(\mathbf{a} = (3, -4)\). Умножим его на скаляр \(k = 2\): \[ 2\mathbf{a} = (2 \cdot 3, 2 \cdot (-4)) = (6, -8). \] Длина исходного вектора: \(|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5\). Длина результата: \(|2\mathbf{a}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10 = 2 \cdot 5\).

¶Пример 2 (трёхмерное пространство)

Вектор \(\mathbf{b} = (1, 0, -2)\) умножается на скаляр \(k = -0.5\): \[ -0.5\mathbf{b} = (-0.5 \cdot 1, -0.5 \cdot 0, -0.5 \cdot (-2)) = (-0.5, 0, 1). \] Направление результата противоположно исходному, длина уменьшилась вдвое.

¶Пример 3 (нулевой скаляр)

\(\mathbf{c} = (7, -3, 5)\), \(k = 0\): \[ 0 \cdot \mathbf{c} = (0, 0, 0). \]

¶Связь с другими операциями

Умножение вектора на скаляр тесно связано с другими операциями векторной алгебры:

Сложение векторов: умножение на скаляр дистрибутивно относительно сложения, что позволяет раскладывать векторы на компоненты.
Скалярное произведение: для любых векторов \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\) и скаляра \(k\) выполняется \((k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\).
Векторное произведение (в трёхмерном пространстве): \((k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k (\mathbf{a} \times \mathbf{b})\).
Линейная комбинация: умножение на скаляр используется при построении линейных комбинаций векторов, что является фундаментом линейной алгебры.

¶Применение

Операция умножения вектора на скаляр широко применяется в различных областях науки и техники:

Физика: при описании сил, скоростей, ускорений — например, второй закон Ньютона \(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\) представляет собой умножение вектора ускорения на скалярную массу.
Компьютерная графика: масштабирование объектов, изменение размеров и направлений векторов при трансформациях.
Машинное обучение: в линейных моделях и нейронных сетях веса (скаляры) умножаются на векторы признаков.
Инженерия: расчёты нагрузок, моментов сил, где векторы умножаются на скалярные коэффициенты.
Экономика: в моделях линейного программирования и теории игр.