Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли — это фундаментальное уравнение гидроаэродинамики, устанавливающее связь между скоростью течения жидкости или газа, давлением в нём и высотой положения рассматриваемого сечения. В наиболее простой форме для установившегося (стационарного) течения идеальной (невязкой и несжимаемой) жидкости оно выражает закон сохранения механической энергии вдоль линии тока.

Физический смысл и формулировка

Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии для движущейся жидкости. Оно утверждает, что для установившегося течения идеальной жидкости сумма трёх величин — кинетической энергии единицы объёма, потенциальной энергии давления и потенциальной энергии положения (в поле силы тяжести) — остаётся постоянной вдоль данной линии тока.

Математически для несжимаемой жидкости уравнение записывается в виде:

\[ \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \text{const} \]

где:

• \(\rho\) — плотность жидкости (кг/м³);
• \(v\) — скорость потока (м/с);
• \(g\) — ускорение свободного падения (≈ 9,81 м/с²);
• \(h\) — высота над выбранным уровнем отсчёта (м);
• \(p\) — статическое давление в жидкости (Па).

Каждый член уравнения имеет размерность давления (Па) и представляет собой:

• \(\frac{\rho v^2}{2}\) — динамическое давление (кинетическая энергия единицы объёма);
• \(\rho g h\) — гидростатическое давление (потенциальная энергия положения единицы объёма);
• \(p\) — статическое давление (потенциальная энергия упругой деформации единицы объёма).

Сумма этих трёх величин называется полным давлением. Для идеальной жидкости полное давление вдоль линии тока не меняется.

История открытия

Уравнение названо в честь швейцарского математика и физика Даниила Бернулли (1700—1782), который опубликовал его в 1738 году в своём фундаментальном труде «Гидродинамика» (лат. Hydrodynamica). В этой работе Бернулли впервые связал скорость течения жидкости с давлением, используя принцип сохранения энергии, который в то время ещё не был сформулирован в современном виде.

Сам Даниил Бернулли вывел уравнение, рассматривая работу сил давления при перемещении элемента жидкости. Его отец, Иоганн Бернулли, также внёс вклад в развитие гидродинамики, однако именно уравнение носит имя сына. Впоследствии, в 1742 году, французский математик Жан Лерон д’Аламбер независимо пришёл к аналогичным результатам, а Леонард Эйлер придал уравнению современную дифференциальную форму.

Разновидности и обобщения

Для идеальной жидкости

Классическое уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости справедливо при следующих допущениях:

• жидкость невязкая (отсутствует внутреннее трение);
• жидкость несжимаемая (плотность постоянна);
• течение установившееся (параметры не меняются во времени);
• течение происходит вдоль линии тока (без завихрений);
• на жидкость действует только сила тяжести.

Для сжимаемой жидкости (газа)

Для газов, где плотность изменяется с давлением, уравнение Бернулли принимает более сложную форму. Для адиабатического (без теплообмена) течения совершенного газа используется форма:

\[ \frac{v^2}{2} + \frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho} + g h = \text{const} \]

где \(\gamma = c_p / c_v\) — показатель адиабаты (для воздуха ≈ 1,4). В аэродинамике при высоких скоростях (свыше 0,3 числа Маха) сжимаемостью пренебрегать нельзя.

Для реальной жидкости (с учётом вязкости)

В реальных жидкостях из-за вязкости происходит диссипация (рассеяние) механической энергии, превращающейся в тепло. Поэтому для реальной жидкости уравнение Бернулли модифицируется введением потерь напора \(h_{\text{пот}}\):

\[ \frac{v_1^2}{2g} + h_1 + \frac{p_1}{\rho g} = \frac{v_2^2}{2g} + h_2 + \frac{p_2}{\rho g} + h_{\text{пот}} \]

где \(h_{\text{пот}}\) — суммарные потери напора на трение и местные сопротивления между сечениями 1 и 2. Это уравнение лежит в основе инженерных расчётов трубопроводов и гидравлических систем.

Применение

Уравнение Бернулли является одним из наиболее широко используемых в прикладной механике жидкости и газа. Его применение охватывает множество областей техники и науки.

В авиации и аэродинамике

Уравнение Бернулли объясняет возникновение подъёмной силы крыла самолёта. Согласно упрощённой модели, воздух над выпуклой верхней поверхностью крыла движется быстрее, чем под плоской нижней. Согласно уравнению Бернулли, при увеличении скорости давление падает. Таким образом, над крылом создаётся область пониженного давления, а под крылом — область повышенного, что и порождает подъёмную силу. На практике подъёмная сила обусловлена более сложными факторами (циркуляция воздуха, угол атаки), но уравнение Бернулли даёт качественное объяснение.

В гидротехнике и водоснабжении

• Водомер Вентури (труба Вентури) — устройство для измерения расхода жидкости в трубопроводе. В суженном сечении скорость потока возрастает, а давление падает. По разности давлений в широком и узком сечениях, используя уравнение Бернулли, вычисляют расход.
• Труба Пито — прибор для измерения скорости потока (например, скорости самолёта относительно воздуха). Измеряется разность между полным давлением (в точке торможения потока) и статическим давлением.
• Расчёт напора насосов — уравнение Бернулли используется для определения необходимого давления, создаваемого насосом для подъёма жидкости на заданную высоту и преодоления гидравлических сопротивлений.

В быту и технике

• Работа пульверизатора и краскопульта: струя воздуха, выходящая с большой скоростью, создаёт область пониженного давления, которая засасывает жидкость из резервуара.
• Карбюратор двигателя внутреннего сгорания: поток воздуха в диффузоре карбюратора создаёт разрежение, благодаря которому топливо подсасывается из поплавковой камеры и смешивается с воздухом.
• Эффект дымовой трубы: разность давлений, создаваемая разной плотностью горячего и холодного воздуха, обеспечивает тягу.

В медицине

• Измерение артериального давления с помощью сфигмоманометра основано на принципе трубы Пито.
• Работа ингаляторов и небулайзеров использует принцип Бернулли для распыления лекарственного раствора.

Критика и ограничения

Уравнение Бернулли в классической форме имеет ряд ограничений, которые необходимо учитывать при его практическом применении:

1. Идеальная жидкость: Реальные жидкости обладают вязкостью, что приводит к потерям энергии, не учитываемым в простейшей форме уравнения.
2. Несжимаемость: Для газов при скоростях, превышающих 0,3 числа Маха, сжимаемость становится значимой, и требуется использование более сложных форм уравнения.
3. Установившееся течение: Уравнение справедливо только для стационарных (не меняющихся во времени) потоков.
4. Одна линия тока: Уравнение выполняется вдоль одной линии тока. Для разных линий тока константа может быть различной, особенно при наличии вихрей.
5. Отсутствие теплообмена: В процессах с подводом или отводом тепла (например, в камерах сгорания) требуется учёт тепловых эффектов.

Несмотря на эти ограничения, уравнение Бернулли остаётся мощным и удобным инструментом для анализа и расчёта множества гидро- и газодинамических процессов, особенно в тех случаях, когда вязкостью и сжимаемостью можно пренебречь.

Источники

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986.
2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003.
3. Бернулли Д. Гидродинамика, или Записки о силах и движениях жидкостей. — 1738.
4. Альтшуль А. Д., Киселёв П. Г. Гидравлика и аэродинамика. — М.: Стройиздат, 1975.
5. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. — М.: Наука, 1964.