Вершина в геометрии и географии¶

Вершина — многозначное понятие, обозначающее высшую точку, крайний элемент или ключевой узел некоторого объекта, структуры либо процесса. В зависимости от контекста термин применяется в геометрии, географии, теории графов, анатомии, а также в переносном смысле для обозначения предельной степени чего-либо. Общим для всех значений остаётся представление о крайнем, наивысшем или узловом положении элемента относительно других.

¶Геометрия

В геометрии вершина — это точка, в которой сходятся два или более отрезков (рёбер), образующих угол либо границу фигуры. У многоугольника вершинами называют точки соединения соседних сторон; число вершин равно числу сторон. У треугольника их три, у четырёхугольника — четыре, у n-угольника — n.

В многогранниках вершина — точка пересечения трёх и более рёбер. Для правильных многогранников число вершин строго определено: у тетраэдра — 4, у куба и октаэдра — 8 и 6 соответственно, у додекаэдра — 20, у икосаэдра — 12. Соотношение между числами вершин (V), рёбер (E) и граней (F) для выпуклых многогранников задаётся формулой Эйлера: V − E + F = 2.

Вершина угла — общая точка двух лучей, его образующих. В конических сечениях (эллипс, парабола, гипербола) вершинами называют точки пересечения кривой с её осями симметрии.

¶География и топография

В физической географии вершина — наивысшая точка горного массива, хребта или отдельной возвышенности. Вершины классифицируют по абсолютной высоте и относительному превышению. Высочайшей вершиной Земли является Эверест (Джомолунгма) высотой 8848,86 м над уровнем моря; в России — Эльбрус (5642 м), в Европе его часто относят к высочайшим точкам континента.

Различают вершины:

• пикообразные — с крутыми склонами и заострённой верхушкой (пример — пик Коммунизма на Памире);
• куполообразные — с пологими склонами (например, многие вулканические вершины);
• платообразные — с плоской верхней поверхностью.

Вершина может быть самостоятельной горой или частью массива. В альпинизме и спортивном туризме восхождение на вершину считается достигнутым при подъёме на высшую точку при соблюдении установленных правил.

¶Теория графов

В теории графов вершина (узел) — базовый элемент графа, соединяемый рёбрами или дугами. Множество вершин и множество рёбер образуют граф. Вершины характеризуются степенью — числом инцидентных рёбер. Изолированная вершина имеет степень 0, концевая (висячая) — степень 1.

Ключевые понятия:

• смежные вершины — соединённые ребром;
• путь — последовательность вершин, где каждые две соседние смежны;
• связность — свойство графа, при котором любые две вершины соединены путём.

Теория графов применяется в маршрутизации, анализе социальных и транспортных сетей, планировании.

¶Анатомия и биология

В анатомии вершиной называют верхнюю или наиболее выступающую часть органа. Вершина лёгкого — верхушка, выступающая над ключицей; вершина сердца — заострённый нижнелевый отдел; вершина мочевого пузыря — верхняя часть, обращённая к брюшной стенке. В ботанике вершина побега — апикальная (верхушечная) часть, где расположена образовательная ткань, обеспечивающая рост в длину.

¶Переносное значение и устойчивые выражения

В широком смысле вершина — предельная степень достижения: «вершина мастерства», «вершина славы». В математическом анализе говорят о вершине параболы — точке экстремума квадратичной функции. В строительстве и геодезии вершина — точка с известными координатами, используемая при разбивочных работах и в триангуляции.

¶Значение и применение

Понятие вершины лежит в основе геометрии, картографии, навигации, компьютерных наук и инженерии. Точность определения вершин критична при построении чертежей, расчёте конструкций, прокладке маршрутов и обработке данных. В геодезических сетях вершины служат опорными пунктами, а в вычислительной геометрии — узлами алгоритмов триангуляции и построения выпуклых оболочек.

Источники: учебники по элементарной геометрии, справочники по топографии и картографии, классические работы по теории графов, анатомические атласы.