Выборочное среднее

Выборочное среднее (также среднее арифметическое выборки) — это статистический показатель, равный сумме всех значений в выборке, делённой на их количество. Является одной из основных мер центральной тенденции и используется для оценки математического ожидания генеральной совокупности по данным наблюдений.

Определение и обозначение

Для набора данных \( x_1, x_2, \dots, x_n \) выборочное среднее \(\bar{x}\) вычисляется по формуле:

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

где \( n \) — объём выборки, \( x_i \) — отдельные наблюдения. В англоязычной литературе часто обозначается как sample mean.

Свойства

Несмещённость

Выборочное среднее является несмещённой оценкой математического ожидания генеральной совокупности: \( E(\bar{x}) = \mu \), где \( \mu \) — истинное среднее генеральной совокупности.

Состоятельность

При увеличении объёма выборки выборочное среднее сходится по вероятности к математическому ожиданию (закон больших чисел). Для независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией выполняется:

\[ \bar{x} \xrightarrow{p} \mu \]

Эффективность

Для нормально распределённых данных выборочное среднее является наиболее эффективной оценкой (имеет минимальную дисперсию среди всех несмещённых оценок). Дисперсия выборочного среднего равна \( \sigma^2 / n \), где \( \sigma^2 \) — дисперсия генеральной совокупности.

Асимптотическая нормальность

Согласно центральной предельной теореме, при больших объёмах выборки распределение выборочного среднего приближается к нормальному распределению с параметрами \( N(\mu, \sigma^2/n) \), независимо от исходного распределения данных (при условии конечной дисперсии).

Вычисление

Для сгруппированных данных

Если данные представлены в виде интервального распределения частот, выборочное среднее вычисляется по формуле:

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i f_i}{n} \]

где \( m_i \) — середины интервалов, \( f_i \) — частоты, \( n \) — общее количество наблюдений.

Итеративные алгоритмы

Для больших объёмов данных или потоковой обработки используют рекуррентные формулы, например алгоритм Уэлфорда:

\[ \bar{x}_n = \bar{x}_{n-1} + \frac{x_n - \bar{x}_{n-1}}{n} \]

где \( \bar{x}_n \) — среднее после \( n \) наблюдений.

Чувствительность к выбросам

Выборочное среднее чувствительно к экстремальным значениям (выбросам). Одно аномально большое или малое значение может существенно изменить результат. Например, для набора {1, 2, 3, 100} среднее равно 26,5, хотя большинство значений сосредоточено около 2. В таких случаях предпочтительнее использовать робастные меры центральной тенденции, такие как медиана или усечённое среднее.

Связь с другими статистическими показателями

• Медиана: при симметричных распределениях совпадает со средним, при асимметричных — отличается.
• Мода: для унимодальных симметричных распределений совпадает со средним и медианой.
• Дисперсия: выборочная дисперсия вычисляется через отклонения от выборочного среднего: \( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 \).
• Ковариация и корреляция: выборочное среднее используется при расчёте ковариации и коэффициента корреляции Пирсона.

Применение

В науке и технике

• Оценка среднего значения физической величины по результатам измерений.
• Анализ экспериментальных данных в биологии, медицине, психологии.
• Контроль качества продукции (среднее арифметическое выборки как оценка номинала).

В экономике и социальных науках

• Расчёт среднего дохода, средних цен, средних баллов.
• Индексы потребительских цен (среднее взвешенное).
• Демографические показатели (средняя продолжительность жизни, средний возраст).

В машинном обучении

• Нормализация данных (вычитание среднего для центрирования).
• Параметры байесовских моделей.
• Оценка смещения моделей.

Разновидности

Взвешенное среднее

Используется, когда наблюдения имеют разную значимость или частоту:

\[ \bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} \]

где \( w_i \) — веса.

Усечённое среднее

Вычисляется после отбрасывания определённого процента наименьших и наибольших значений (например, 10% с каждого конца). Используется для снижения влияния выбросов.

Винзоризированное среднее

Экстремальные значения заменяются ближайшими к ним неотбрасываемыми значениями, после чего вычисляется обычное среднее.

История

Понятие среднего арифметического известно с античности. В Древней Греции его использовали Пифагор и его последователи в теории музыки и математике. В современной статистике выборочное среднее как оценка математического ожидания получило развитие в работах Карла Фридриха Гаусса (метод наименьших квадратов, 1809) и Адриена Мари Лежандра (1805). В XX веке с развитием математической статистики были строго доказаны свойства несмещённости, состоятельности и асимптотической нормальности.

Ограничения

• Неприменимо для порядковых и номинальных шкал.
• Теряет смысл при наличии выбросов или сильно асимметричных распределениях.
• Для многомодальных распределений среднее может не соответствовать ни одной из мод.
• При малых выборках выборочное среднее может существенно отличаться от истинного математического ожидания.

Источники

• Кендалл М., Стюарт А. «Теория распределений». — М.: Наука, 1966.
• Гнеденко Б. В. «Курс теории вероятностей». — М.: УРСС, 2005.
• Орлов А. И. «Прикладная статистика». — М.: Экзамен, 2006.
• Welford B. P. «Note on a Method for Calculating Corrected Sums of Squares and Products» // Technometrics, 1962.