Взаимная корреляционная функция¶

Взаимная корреляционная функция — это функция двух аргументов (обычно временных или пространственных), характеризующая степень статистической связи между значениями двух случайных процессов (или двух реализаций одного процесса) в различные моменты времени или в различных точках пространства. В отличие от автокорреляционной функции, которая описывает связь процесса с самим собой, взаимная корреляционная функция описывает связь между двумя различными сигналами или процессами.

¶Определение

Для двух стационарных в широком смысле случайных процессов \( X(t) \) и \( Y(t) \) взаимная корреляционная функция \( R_{XY}(\tau) \) определяется как математическое ожидание произведения отклонений процессов, сдвинутых друг относительно друга на величину \( \tau \):

\[ R_{XY}(\tau) = E[X(t) \cdot Y(t+\tau)] \]

где \( E[\cdot] \) — оператор математического ожидания, \( \tau \) — временной сдвиг (лаг). Для эргодических процессов математическое ожидание может быть заменено усреднением по времени:

\[ R_{XY}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} X(t) \cdot Y(t+\tau) \, dt \]

В отличие от автокорреляционной функции, которая является чётной функцией (\( R_{XX}(\tau) = R_{XX}(-\tau) \)), взаимная корреляционная функция, как правило, нечётной симметрией не обладает: \( R_{XY}(\tau) eq R_{XY}(-\tau) \). При этом справедливо соотношение \( R_{XY}(\tau) = R_{YX}(-\tau) \).

¶Нормированная взаимная корреляционная функция

Для удобства сравнения и количественной оценки степени связи используется нормированная взаимная корреляционная функция (коэффициент взаимной корреляции):

\[ \rho_{XY}(\tau) = \frac{R_{XY}(\tau)}{\sqrt{R_{XX}(0) \cdot R_{YY}(0)}} = \frac{R_{XY}(\tau)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \]

где \( \sigma_X \) и \( \sigma_Y \) — среднеквадратические отклонения процессов. Значения \( \rho_{XY}(\tau) \) лежат в диапазоне от −1 до 1. Значение, близкое к 1, указывает на сильную положительную корреляцию (процессы изменяются синхронно), близкое к −1 — на сильную отрицательную (изменения противоположны по знаку), а значение около 0 — на отсутствие линейной связи.

¶Свойства

• Ограниченность: модуль взаимной корреляционной функции не превышает среднего геометрического значений автокорреляционных функций при нулевом сдвиге: \( |R_{XY}(\tau)| \leq \sqrt{R_{XX}(0) \cdot R_{YY}(0)} \).
• Максимум при нулевом сдвиге: для идентичных процессов (когда \( X(t) = Y(t) \)) функция вырождается в автокорреляционную и достигает максимума при \( \tau = 0 \). Для различных процессов максимум может наблюдаться при ненулевом сдвиге, что отражает временную задержку между сигналами.
• Связь с взаимным спектром: по теореме Винера — Хинчина, взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность мощности образуют пару преобразований Фурье. Это позволяет анализировать взаимную связь процессов в частотной области.

¶Применение

Взаимная корреляционная функция широко используется в различных областях науки и техники:

• Радиолокация и гидролокация: для определения задержки между излучаемым и отражённым сигналом, что позволяет вычислить расстояние до объекта.
• Сейсмология: для определения разницы во времени прихода сейсмических волн на разные станции и локализации эпицентра землетрясения.
• Обработка сигналов: для обнаружения полезного сигнала на фоне шума, синхронизации потоков данных и оценки каналов связи.
• Медицина: для анализа взаимосвязи физиологических сигналов (например, электроэнцефалограммы и электрокардиограммы) при исследовании функционального состояния организма.
• Эконометрика: для выявления взаимного влияния временных рядов (например, связи между безработицей и инфляцией).

¶Оценка по экспериментальным данным

На практике взаимная корреляционная функция оценивается по конечным выборкам данных. Для дискретных сигналов \( x[n] \) и \( y[n] \) длины \( N \) несмещённая оценка вычисляется по формуле:

\[ \hat{R}_{XY}[k] = \frac{1}{N - |k|} \sum_{n=0}^{N-|k|-1} x[n] \cdot y[n+k] \]

где \( k \) — дискретный сдвиг. При малом объёме выборки оценка может иметь значительную дисперсию, поэтому для повышения точности применяют методы сглаживания и усреднения по нескольким реализациям.