Задача о сумме трёх кубов в математике¶

Задача о сумме трёх кубов — нерешённая проблема теории чисел, относящаяся к классу диофантовых уравнений. Она заключается в поиске целых чисел \( x, y, z \), удовлетворяющих уравнению \( x^3 + y^3 + z^3 = k \), где \( k \) — заданное целое число. Задача известна также как уравнение \( k = x^3 + y^3 + z^3 \) и является частным случаем проблемы Варринга для степени три.

¶Постановка задачи

Для каждого целого числа \( k \) требуется определить, существует ли тройка целых чисел (положительных, отрицательных или нуля), сумма кубов которых равна \( k \). Например, для \( k = 3 \) решением является \( 1^3 + 1^3 + 1^3 = 3 \), а для \( k = 1 \) — \( 1^3 + 1^3 + (-1)^3 = 1 \).

Задача нетривиальна, поскольку в отличие от суммы квадратов, где действует теорема о четырёх квадратах Лагранжа, для кубов не существует простого критерия разрешимости. Известно лишь необходимое условие: если \( k \equiv \pm 4 \pmod 9 \), то решений нет. Это следует из того факта, что куб любого целого числа при делении на 9 даёт остаток 0, 1 или 8 (−1), а сумма трёх таких остатков не может быть равна 4 или 5 по модулю 9. Для всех остальных значений \( k \) вопрос о разрешимости остаётся открытым в общем виде.

¶История исследования

Первое систематическое исследование задачи предпринял в 1954 году английский математик Луис Морделл, который предположил, что для любого \( k \), не сравнимого с \( \pm 4 \) по модулю 9, решение существует. Однако строгого доказательства этой гипотезы нет до сих пор.

В 1980-х годах Роджер Хит-Браун доказал, что для положительной плотности множества чисел \( k \) решения существуют, однако вопрос о всех допустимых значениях остался открытым. В 1992 году британский математик Дэвид Майкл Дэвис сформулировал алгоритмический подход, но полного перебора для больших \( k \) не проводилось.

¶Эпоха компьютерного поиска

С развитием вычислительной техники задача стала активно решаться численными методами. В 2007 году немецкий математик Андреас-Стефан Эльзенханс и его коллеги нашли решение для \( k = 33 \), которое долгое время оставалось одним из самых маленьких нерешённых значений. Решение имело вид:

\[ 33 = 8866128975287528^3 + (-8778405442862239)^3 + (-2736111468807040)^3 \]

В 2019 году британский математик Эндрю Букер с помощью суперкомпьютера нашёл решение для \( k = 42 \):

\[ 42 = (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3 \]

После этого открытия наименьшим нерешённым значением стало \( k = 114 \), для которого решение было найдено в том же 2019 году Букера и Эндрю Сазерленда:

\[ 114 = (-1368726267485179)^3 + 1364022193464911^3 + 80435758145817515^3 \]

К 2023 году решения найдены для всех \( k < 1000 \), кроме нескольких десятков значений, для которых поиск продолжается.

¶Методы поиска

Современные алгоритмы основаны на методе спуска и решета. Основная идея — параметризация решений через эллиптические кривые. Уравнение \( x^3 + y^3 + z^3 = k \) можно переписать в виде:

\[ x^3 + y^3 = k - z^3 \]

Если ввести замену \( s = x + y \), \( p = xy \), то \( x^3 + y^3 = s^3 - 3ps \). Тогда уравнение сводится к:

\[ s^3 - 3ps = k - z^3 \]

Это уравнение задаёт эллиптическую кривую, на которой ищутся целые точки. Для поиска используются алгоритмы, основанные на теории эллиптических кривых, в частности метод, предложенный Ноамом Элкисом в 1990-х годах.

На практике применяется метод «решета»: для фиксированного \( z \) вычисляются значения \( x^3 + y^3 \) и проверяется, не дают ли они в сумме с \( z^3 \) целевое \( k \). Для ускорения используются модулярные арифметики и параллельные вычисления на суперкомпьютерах.

¶Связь с другими задачами

Задача о сумме трёх кубов тесно связана с проблемой Варринга, которая ставит вопрос о представлении чисел суммой фиксированного числа \( s \) \( n \)-х степеней. Для степени 3 известно, что каждое достаточно большое целое число представимо суммой не более чем 7 кубов (теорема Линника), а гипотеза о том, что достаточно 4 кубов, не доказана.

Также задача связана с теорией эллиптических кривых и гипотезой Берча — Суиннертон-Дайера, поскольку ранг эллиптической кривой, связанной с уравнением, определяет существование бесконечного числа решений.

¶Текущее состояние

На начало 2025 года вопрос о разрешимости уравнения \( x^3 + y^3 + z^3 = k \) для всех \( k \), не сравнимых с \( \pm 4 \pmod 9 \), остаётся открытым. Известно, что для бесконечного множества значений \( k \) решения существуют, но общая гипотеза Морделла не доказана. Поиск решений для конкретных \( k \) продолжается в рамках распределённых вычислительных проектов, таких как «Mathematics of Computation».

Практического приложения задача не имеет, однако она служит полигоном для разработки алгоритмов решения диофантовых уравнений и стимулирует развитие вычислительной теории чисел.