Луис Морделл

Луис Морделл (англ. Louis Mordell; 28 января 1888, Филадельфия, США — 12 марта 1972, Кембридж, Великобритания) — британский и американский математик, известный работами в области теории чисел. Основные достижения связаны с диофантовыми уравнениями, эллиптическими кривыми и модулярными формами. Сформулировал гипотезу Морделла (доказана Фальтингсом в 1983 году), которая стала важным шагом в развитии арифметической геометрии.

Биография

Ранние годы и образование

Луис Морделл родился в еврейской семье иммигрантов из Литвы в Филадельфии. Его отец был мелким торговцем. В 1902 году семья переехала в Кембридж (Англия), где Морделл поступил в школу. В 1906 году он выиграл стипендию для обучения в колледже Святого Иоанна Кембриджского университета. В 1909 году окончил университет с отличием, получив степень бакалавра.

Научная карьера

После окончания университета Морделл работал преподавателем в различных учебных заведениях. В 1913 году он получил должность лектора в Манчестерском университете, где проработал до 1920 года. В 1920 году стал профессором математики в Бирмингемском университете. В 1922 году перешёл в Манчестерский университет, где занял кафедру чистой математики. В 1945 году вернулся в Кембридж, где до 1953 года занимал должность профессора математики в колледже Святого Иоанна.

В 1924 году Морделл был избран членом Лондонского королевского общества. В 1949 году получил Королевскую медаль Королевского общества. В 1953 году вышел на пенсию, но продолжал активную научную деятельность до конца жизни.

Научные достижения

Гипотеза Морделла

Основной вклад Морделла в математику — гипотеза, сформулированная в 1922 году. Она утверждает, что любое алгебраическое уравнение, задающее кривую рода больше единицы (то есть кривую с топологическим родом ≥ 2), имеет лишь конечное число рациональных решений. Гипотеза была доказана в 1983 году немецким математиком Гердом Фальтингсом, за что он получил Филдсовскую премию. Доказательство Фальтингса стало важным этапом в развитии арифметической геометрии и теории диофантовых уравнений.

Теорема Морделла — Вейля

В 1922 году Морделл доказал важную теорему о структуре группы рациональных точек на эллиптических кривых. Впоследствии Андре Вейль обобщил этот результат на абелевы многообразия. Теорема утверждает, что группа рациональных точек на эллиптической кривой (или абелевом многообразии) является конечно порождённой абелевой группой. Этот результат лежит в основе современной теории эллиптических кривых и имеет приложения в криптографии.

Работы по диофантовым уравнениям

Морделл внёс значительный вклад в изучение диофантовых уравнений — уравнений, решения которых ищутся в целых или рациональных числах. Он исследовал уравнения вида \(y^2 = x^3 + k\) (уравнения Морделла), а также уравнения с двумя переменными. Его работы по этим вопросам систематизированы в книге «Диофантовы уравнения», опубликованной в 1969 году.

Теория модулярных форм

Морделл также работал в области модулярных форм. В 1917 году он доказал, что модулярная форма дискриминанта (Δ-функция) является мультипликативной, то есть её коэффициенты удовлетворяют определённым соотношениям. Этот результат стал одним из первых шагов в развитии теории модулярных форм и впоследствии был обобщён в рамках программы Ленглендса.

Основные публикации

• Mordell L. J. Three lectures on Fermat’s last theorem. — Cambridge University Press, 1921.
• Mordell L. J. Diophantine equations. — Academic Press, 1969.
• Mordell L. J. The congruence of the coefficients of the modular form Δ(τ) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1917. — Vol. 16. — P. 1–15.

Наследие и признание

Работы Морделла оказали глубокое влияние на развитие теории чисел и арифметической геометрии. Гипотеза Морделла, доказанная Фальтингсом, стала одним из центральных результатов в этой области. Теорема Морделла — Вейля является фундаментальным инструментом в изучении эллиптических кривых и абелевых многообразий.

В честь Морделла названы:

• кратер Морделл на Луне;
• премия Морделла, присуждаемая Лондонским математическим обществом за выдающиеся работы в области теории чисел;
• уравнение Морделла — диофантово уравнение вида \(y^2 = x^3 + k\).

Интересные факты

• Морделл был известен своей любовью к шахматам и часто играл в них с коллегами.
• Он был активным сторонником математического образования и написал несколько учебников по теории чисел.
• Несмотря на то, что Морделл родился в США, большую часть своей карьеры он провёл в Великобритании и считал себя британским математиком.