Закон Джоуля — Ленца¶

Закон Джоуля — Ленца — физический закон, определяющий количество теплоты, которое выделяется в проводнике при протекании по нему электрического тока. Установлен экспериментально независимо друг от друга английским физиком Джеймсом Прескоттом Джоулем в 1841 году и российским физиком Эмилием Христиановичем Ленцем в 1842 году. Закон связывает тепловую мощность с силой тока и сопротивлением участка цепи и является одним из базовых соотношений теории электричества.

¶Формулировка

В интегральной форме закон утверждает: количество теплоты \(Q\), выделяемое в проводнике за время \(t\), прямо пропорционально квадрату силы тока \(I\), сопротивлению проводника \(R\) и времени протекания тока:

\[ Q = I^2 R t \]

Если ток изменяется во времени, используют дифференциальную форму записи, описывающую выделение теплоты в каждой точке проводника в каждый момент. Для этого вводят удельную тепловую мощность — количество теплоты, выделяемое в единице объёма за единицу времени:

\[ w = \frac{dQ}{dV\,dt} = \rho j^2 \]

где \(\rho\) — удельное сопротивление среды, \(j\) — плотность тока. В векторной форме, через напряжённость электрического поля \(\vec{E}\) и плотность тока \(\vec{j}\):

\[ w = \vec{j} \cdot \vec{E} \]

Это наиболее общая запись закона Джоуля — Ленца в дифференциальной форме: она справедлива для любой точки проводящей среды и не требует однородности тока.

¶Связь интегральной и дифференциальной форм

Интегральная формула получается из дифференциальной интегрированием по объёму проводника. Для однородного цилиндрического проводника длиной \(l\) и площадью поперечного сечения \(S\) объём равен \(V = Sl\), плотность тока \(j = I/S\), а удельное сопротивление \(\rho = RS/l\). Подстановка даёт:

\[ Q = \rho j^2 V t = \frac{R S}{l} \cdot \frac{I^2}{S^2} \cdot S l \cdot t = I^2 R t \]

Таким образом, дифференциальная форма является локальной, «точечной» версией закона, а интегральная — её следствием для конкретного проводника.

¶Мощность тока

Разделив количество теплоты на время, получают тепловую мощность \(P\):

\[ P = I^2 R = \frac{U^2}{R} = UI \]

где \(U\) — напряжение на участке. Равенство трёх выражений следует из закона Ома \(U = IR\). Именно эта формула лежит в основе расчёта нагревательных приборов, потерь в линиях электропередачи и теплового действия тока в целом.

¶Условия применимости

Закон выполняется для участков цепи, где справедлив закон Ома, то есть для линейных проводников и резисторов. В дифференциальной форме он применим к средам с конечной проводимостью. Для нелинейных элементов (полупроводниковых приборов, газовых разрядов, плазмы) соотношение \(w = \vec{j}\cdot\vec{E}\) остаётся справедливым как выражение для диссипируемой мощности, но связь между током и напряжением уже не описывается законом Ома. В сверхпроводниках при отсутствии сопротивления джоулево тепло не выделяется.

¶История открытия

Джеймс Джоуль в серии опытов 1840—1841 годов измерял нагрев проводников током и установил зависимость теплоты от квадрата силы тока и сопротивления. Независимо от него Эмиль Ленц в 1842—1843 годах провёл аналогичные эксперименты и уточнил закон, показав его связь с законом Ома. В российской и немецкой традиции закон носит двойное имя; в англоязычной литературе его часто называют законом Джоуля. Работы обоих учёных способствовали утверждению механической теории теплоты и представления о теплоте как форме движения материи.

¶Применение

Закон Джоуля — Ленца используется в самых разных областях:

Электронагревательные приборы. Утюги, чайники, обогреватели, электроплиты, паяльники основаны на выделении теплоты в нагревательном элементе с высоким сопротивлением.
Освещение. В лампах накаливания джоулево тепло нагревает вольфрамовую нить до свечения.
Расчёт потерь. В линиях электропередачи потери мощности \(P = I^2 R\) снижают, повышая напряжение и уменьшая ток, что уменьшает нагрев проводов.
Предохранители. Плавкие вставки расплавляются при превышении допустимого тока, разрывая цепь.
Электротехника и электроника. Учёт тепловыделения необходим при проектировании резисторов, микросхем и силовых кабелей для предотвращения перегрева.

¶Значение

Закон Джоуля — Ленца связывает электрические и тепловые явления и служит основой теплотехнических расчётов в электроэнергетике. Он объясняет неизбежность потерь энергии при передаче тока, обосновывает выбор материалов и сечений проводников, лежит в основе теории нагрева и охлаждения токоведущих частей. Вместе с законом Ома и правилами Кирхгофа он образует базовый аппарат анализа электрических цепей.

¶Пример расчёта

Для проводника сопротивлением \(R = 10\) Ом при токе \(I = 2\) А за \(t = 60\) с выделится:

\[ Q = I^2 R t = 4 \cdot 10 \cdot 60 = 2400 \text{ Дж} \]

Соответствующая мощность составит \(P = I^2 R = 40\) Вт. В дифференциальной форме при плотности тока \(j = 2 \cdot 10^6\) А/м² и удельном сопротивлении меди \(\rho \approx 1{,}7 \cdot 10^{-8}\) Ом·м удельная мощность равна \(w = \rho j^2 \approx 6{,}8 \cdot 10^4\) Вт/м³.

Источники: учебники по общей физике (И. В. Савельев, Д. В. Сивухин), курсы теории электричества, справочные материалы по электротехнике.