Закон излучения Планка

Закон излучения Планка — это физическая формула, описывающая спектральную плотность энергетической светимости (излучательной способности) абсолютно чёрного тела в состоянии термодинамического равновесия. Закон устанавливает распределение энергии в спектре теплового излучения в зависимости от температуры и частоты (или длины волны). Он был выведен немецким физиком Максом Планком в 1900 году и стал одним из краеугольных камней квантовой физики, положив начало представлению о дискретности энергии.

История открытия

Классические предпосылки и «ультрафиолетовая катастрофа»

К концу XIX века классическая физика столкнулась с серьёзным противоречием при описании теплового излучения. Согласно закону Рэлея — Джинса, выведенному из законов классической электродинамики и статистической механики, спектральная плотность излучения абсолютно чёрного тела должна была неограниченно возрастать с уменьшением длины волны (ростом частоты). Это предсказание, названное «ультрафиолетовой катастрофой», противоречило экспериментальным данным, которые показывали наличие максимума в спектре и последующий спад в ультрафиолетовой области. Для низких частот (длинных волн) формула Рэлея — Джинса хорошо согласовывалась с опытом, но для высоких частот давала абсурдный результат — бесконечную энергию.

Экспериментальная основа

Точные измерения спектров теплового излучения были выполнены немецкими физиками Отто Луммером и Эрнстом Прингсгеймом, а также Генрихом Рубенсом и Фердинандом Курльбаумом в Физико-техническом институте в Берлине. Они использовали полые печи с почти идеально чёрными стенками (абсолютно чёрное тело) и спектрометры. Полученные кривые распределения энергии имели характерную колоколообразную форму с чётко выраженным максимумом, положение которого сдвигалось в сторону более коротких волн при повышении температуры.

Вывод Планка

Макс Планк, занимавшийся проблемой теплового излучения, вначале пытался подогнать эмпирические формулы под экспериментальные данные. В 1900 году он предложил интерполяционную формулу, которая точно описывала все известные измерения. Однако физический смысл этой формулы оставался неясным. Чтобы обосновать её теоретически, Планк был вынужден сделать революционное предположение: он допустил, что энергия излучается и поглощается не непрерывно, а дискретными порциями — квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения ν:

\[ E = h \nu \]

где \(h\) — постоянная Планка (6,626·10⁻³⁴ Дж·с). 14 декабря 1900 года Планк представил свой вывод на заседании Немецкого физического общества, что считается датой рождения квантовой физики.

Формулировка закона

Закон Планка может быть записан в двух эквивалентных формах: в зависимости от частоты ν и от длины волны λ.

Через частоту

Спектральная плотность энергетической светимости \(B_\nu(\nu, T)\) (энергия, излучаемая с единицы площади за единицу времени в единичном интервале частот в единичный телесный угол) для абсолютно чёрного тела при температуре \(T\):

\[ B_\nu(\nu, T) = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{h \nu}{k_B T}} - 1} \]

где:

• \(h\) — постоянная Планка,
• \(c\) — скорость света в вакууме,
• \(k_B\) — постоянная Больцмана,
• \(T\) — абсолютная температура (в кельвинах),
• \(e\) — основание натурального логарифма.

Через длину волны

Спектральная плотность энергетической светимости \(B_\lambda(\lambda, T)\) (энергия, излучаемая в единичном интервале длин волн):

\[ B_\lambda(\lambda, T) = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k_B T}} - 1} \]

Эти формулы дают одинаковое полное значение излучения, но имеют разную форму из-за нелинейной связи между ν и λ.

Следствия и частные случаи

Закон Стефана — Больцмана

Интегрирование закона Планка по всем частотам (или длинам волн) даёт полную энергетическую светимость \(M_e\) абсолютно чёрного тела:

\[ M_e = \int_0^\infty B_\nu(\nu, T) d\nu = \sigma T^4 \]

где \(\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К}^4)\) — постоянная Стефана — Больцмана. Таким образом, полная излучаемая энергия пропорциональна четвёртой степени температуры.

Закон смещения Вина

Положение максимума спектральной плотности излучения описывается законом смещения Вина. Для зависимости от длины волны:

\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} \]

где \(b = 2,898 \cdot 10^{-3} \, \text{м·К}\) — постоянная Вина. Это означает, что с ростом температуры максимум излучения смещается в сторону более коротких волн (например, от красного к синему цвету).

Приближения для низких и высоких частот

• Приближение Рэлея — Джинса (низкие частоты, \(h\nu \ll k_B T\)): В этом случае \(e^{h\nu/k_B T} \approx 1 + h\nu/k_B T\), и формула Планка переходит в классическую: \(B_\nu \approx (2\nu^2/c^2) k_B T\). Это объясняет, почему классическая теория работала для длинных волн.
• Приближение Вина (высокие частоты, \(h\nu \gg k_B T\)): В этом случае \(e^{h\nu/k_B T} \gg 1\), и формула упрощается до \(B_\nu \approx (2h\nu^3/c^2) e^{-h\nu/k_B T}\), что соответствует закону Вина, который был известен до Планка.

Значение и применение

Фундаментальное значение

Закон излучения Планка стал первым успешным применением квантовых представлений к физической системе. Он:

• Доказал дискретность энергетических уровней в атомах и молекулах.
• Лёг в основу развития квантовой механики и квантовой статистики.
• Позволил точно определить постоянную Планка \(h\), которая является одной из фундаментальных констант физики.

Практическое применение

Закон Планка используется в самых разных областях науки и техники:

• Астрофизика: Определение температуры звёзд, планет и межзвёздного газа по их спектрам. Например, температура поверхности Солнца (~5778 K) вычисляется по положению максимума его излучения в видимой области.
• Пирометрия: Бесконтактное измерение температуры нагретых тел (например, в металлургии, доменных печах) с помощью оптических и инфракрасных пирометров.
• Спектроскопия: Калибровка спектральных приборов и анализ состава веществ.
• Тепловидение: Интерпретация инфракрасных изображений для выявления перегретых участков в электронике, строительстве, медицине.
• Фотоника и оптоэлектроника: Расчёт характеристик светодиодов, лазеров, фотоприёмников и солнечных батарей.
• Климатология: Моделирование теплового баланса Земли и парникового эффекта.

Критика и развитие

Первоначально гипотеза Планка о квантах была воспринята научным сообществом скептически, так как она противоречила устоявшимся принципам классической физики. Сам Планк долгое время считал кванты лишь математическим приёмом, не имеющим реального физического смысла. Однако последующие работы Альберта Эйнштейна (объяснение фотоэффекта в 1905 году) и Нильса Бора (модель атома водорода в 1913 году) подтвердили реальность квантования энергии. Закон Планка остаётся точным и непротиворечивым в рамках современной физики, хотя для очень высоких энергий и экстремальных условий (например, вблизи чёрных дыр) требуются релятивистские и квантово-полевые обобщения.

Источники

1. Планк М. «О законе распределения энергии в нормальном спектре» (1900).
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Статистическая физика», часть 1.
3. Сивухин Д. В. «Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика».
4. Борн М. «Атомная физика».
5. Рубенс Г., Курльбаум Ф. «Измерения спектра теплового излучения» (1900).