Закон сохранения момента импульса

Закон сохранения момента импульса — это фундаментальный физический закон, утверждающий, что для замкнутой системы тел векторная сумма моментов импульса всех тел системы остаётся постоянной во времени при любых взаимодействиях внутри системы. Закон является следствием изотропности пространства (равноправия всех направлений в пространстве) и относится к числу основных законов сохранения в механике, наряду с законами сохранения энергии и импульса. Он справедлив как в классической, так и в квантовой механике.

Формулировка и математическое выражение

В классической механике момент импульса (также называемый кинетическим моментом или угловым моментом) материальной точки относительно некоторого центра O определяется как векторное произведение радиус-вектора r точки на её импульс p = mv:

L = [r × p]

Для системы материальных точек полный момент импульса равен векторной сумме моментов импульса всех точек системы. Закон сохранения момента импульса формулируется следующим образом: полный момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки остаётся постоянным, если сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Математически это выражается через производную по времени:

dL/dt = M,

где M — суммарный момент внешних сил. Если M = 0, то dL/dt = 0, следовательно, L = const.

В более общей форме закон формулируется для замкнутой системы: L = const.

Частный случай: вращение твёрдого тела

Для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, момент импульса связан с моментом инерции I и угловой скоростью ω соотношением:

L = Iω

В отсутствие внешних моментов сил (например, сил трения в оси) закон сохранения принимает вид:

Iω = const

Отсюда следует, что при изменении момента инерции тела (например, при изменении распределения массы относительно оси вращения) угловая скорость изменяется обратно пропорционально: если I уменьшается, ω увеличивается, и наоборот.

История открытия

Закон сохранения момента импульса не был открыт одним учёным, а формировался постепенно, начиная с XVII века. Его предпосылки содержатся в работах Иоганна Кеплера, который в 1609 году сформулировал второй закон Кеплера (закон площадей): радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади. Этот закон является прямым следствием сохранения момента импульса планеты в поле центральной силы тяготения Солнца.

В 1644 году Рене Декарт в своих «Началах философии» сформулировал закон сохранения количества движения (импульса), но не выделил отдельно момент импульса. В 1687 году Исаак Ньютон в «Математических началах натуральной философии» заложил основы динамики, из которых следовало, что момент сил вызывает изменение момента импульса.

Окончательное математическое оформление закон получил в трудах Леонарда Эйлера (XVIII век), который ввёл понятие момента инерции и вывел уравнения вращательного движения твёрдого тела. В XIX веке Уильям Гамильтон и другие математики включили закон сохранения момента импульса в общую теорию механики как следствие симметрии пространства.

Доказательство в классической механике

Закон сохранения момента импульса может быть выведен из второго закона Ньютона и принципа изотропности пространства.

1. Вывод из уравнений движения. Для материальной точки: dL/dt = [r × dp/dt] = [r × F] = M. Если M = 0, то L = const. Для системы точек суммирование даёт аналогичный результат: производная полного момента импульса равна суммарному моменту внешних сил. Если внешние силы отсутствуют (замкнутая система) или их суммарный момент равен нулю, то полный момент импульса сохраняется.

1. Вывод из симметрии пространства. Согласно теореме Нётер (1918), каждому закону сохранения соответствует определённая симметрия физической системы. Закон сохранения энергии соответствует однородности времени, закон сохранения импульса — однородности пространства, а закон сохранения момента импульса — изотропности пространства (отсутствию выделенных направлений). Если пространство изотропно, то поворот замкнутой системы как целого не меняет её физических свойств, что и приводит к сохранению момента импульса.

Примеры проявления

В механике

• Фигурист на льду. При вращении с вытянутыми руками момент инерции фигуриста относительно оси вращения велик, а угловая скорость мала. Когда он прижимает руки к телу, момент инерции уменьшается, и угловая скорость резко возрастает. Это демонстрирует сохранение произведения Iω.
• Спутник на орбите. Движение спутника вокруг Земли подчиняется второму закону Кеплера: вблизи перигея (ближайшей точки орбиты) скорость спутника максимальна, вблизи апогея — минимальна. Это следствие сохранения момента импульса спутника в поле центральной силы.
• Гироскоп. Сохранение момента импульса лежит в основе работы гироскопа — быстро вращающегося тела, ось которого сохраняет своё направление в пространстве, если на неё не действуют внешние моменты сил. Это свойство используется в навигационных приборах.
• Падающая кошка. Феномен «кошки, которая всегда приземляется на лапы» объясняется сохранением полного момента импульса. Кошка, падая с высоты, изгибает тело и поворачивает разные его части в противоположные стороны так, что суммарный момент импульса остаётся нулевым, а ориентация тела меняется.

В астрофизике

• Вращение звёзд и планет. Закон сохранения момента импульса объясняет, почему при сжатии протозвёздного облака (уменьшении его радиуса) скорость вращения возрастает. Это приводит к образованию быстро вращающихся звёзд и планетных систем.
• Нейтронные звёзды. При коллапсе ядра массивной звезды в нейтронную звезду радиус уменьшается в десятки тысяч раз. Сохранение момента импульса приводит к колоссальному увеличению скорости вращения — пульсары могут совершать сотни оборотов в секунду.
• Двойные системы. В двойных звёздных системах происходит обмен моментом импульса между компонентами, что может приводить к сближению или удалению звёзд.

В квантовой механике

В квантовой механике момент импульса является квантованной величиной. Существует собственный момент импульса частиц — спин, который не связан с их движением в пространстве. Закон сохранения момента импульса выполняется и в квантовых процессах, включая радиоактивный распад, ядерные реакции и взаимодействие элементарных частиц. Например, в бета-распаде нейтрона сохранение момента импульса потребовало введения гипотезы о существовании нейтрино (Вольфганг Паули, 1930).

Границы применимости

Закон сохранения момента импульса является точным для замкнутых систем в инерциальных системах отсчёта. В неинерциальных системах отсчёта (например, во вращающихся) могут возникать фиктивные силы (центробежная сила, сила Кориолиса), которые создают моменты, и закон в простой форме не выполняется.

В общей теории относительности понятие момента импульса для гравитационных полей усложняется, и закон сохранения в строгом смысле выполняется только для асимптотически плоских пространств-времён. Однако для большинства практических задач в астрофизике и космологии закон остаётся применимым.

Значение

Закон сохранения момента импульса является одним из краеугольных камней современной физики. Он позволяет:

• Объяснять и предсказывать вращательное движение тел в механике.
• Понимать эволюцию астрофизических объектов — от вращения планет до коллапса звёзд.
• Анализировать квантовые системы и свойства элементарных частиц.
• Конструировать технические устройства — гироскопы, маховики, системы ориентации космических аппаратов.

Нарушение этого закона в какой-либо физической теории указывало бы на её неполноту или ошибочность, поэтому он служит важным критерием проверки новых моделей и гипотез.

Источники

• Сивухин Д. В. «Общий курс физики. Том 1. Механика». — М.: Физматлит, 2005.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика. Том 1. Механика». — М.: Физматлит, 2004.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. «Фейнмановские лекции по физике. Том 1». — М.: Мир, 1977.
• Матвеев А. Н. «Механика и теория относительности». — М.: Высшая школа, 1986.
• Савельев И. В. «Основы теоретической физики. Том 1». — М.: Наука, 1991.