Радиус-вектор¶

Радиус-вектор — это вектор, задающий положение точки в пространстве относительно некоторой заранее выбранной начальной точки, называемой началом координат (полюсом). Радиус-вектор является основным инструментом векторного описания геометрических объектов и механического движения в физике и математике.

¶Определение и обозначение

Для точки \( M \) в трёхмерном евклидовом пространстве радиус-вектор \(\vec{r}\) проводится из начала координат \( O \) в точку \( M \). В декартовой системе координат радиус-вектор раскладывается по базисным ортам \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\):

\[ \vec{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}, \]

где \( x, y, z \) — координаты точки \( M \). Модуль радиус-вектора равен расстоянию от начала координат до точки:

\[ |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. \]

В цилиндрической и сферической системах координат радиус-вектор выражается через соответствующие координаты (радиальную, азимутальную и полярную), при этом его модуль совпадает с радиальной координатой.

¶Свойства

• Радиус-вектор однозначно определяет положение точки: равенство радиус-векторов двух точек означает совпадение самих точек.
• При параллельном переносе системы координат радиус-вектор изменяется, тогда как разность двух радиус-векторов (вектор перемещения) остаётся инвариантной.
• Радиус-вектор является примером полярного вектора: при инверсии системы координат он меняет знак.
• В криволинейных координатах (например, сферических) радиус-вектор не совпадает с координатной линией, а его дифференциал выражается через метрический тензор.

¶Применение в механике

В кинематике радиус-вектор используется для параметризации траектории движения. Если задана зависимость \(\vec{r}(t)\), то скорость и ускорение точки определяются как первая и вторая производные радиус-вектора по времени:

\[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}, \quad \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}. \]

В динамике радиус-вектор входит в определение момента импульса \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) и момента силы \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\). В задачах центрального движения (например, движение планет) радиус-вектор играет ключевую роль: сила направлена вдоль \(\vec{r}\), что приводит к сохранению момента импульса и закону площадей.

¶Радиус-вектор в геометрии и анализе

В аналитической геометрии радиус-вектор позволяет записать уравнение линии или поверхности в векторной форме. Например, уравнение прямой, проходящей через точку с радиус-вектором \(\vec{r}_0\) параллельно вектору \(\vec{a}\), имеет вид:

\[ \vec{r} = \vec{r}_0 + \lambda \vec{a}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]

В векторном анализе операции дифференцирования и интегрирования часто выполняются над функциями, аргументом которых является радиус-вектор (скалярные и векторные поля). Оператор набла \(\nabla\) действует на функции от \(\vec{r}\), что лежит в основе теории полей (градиент, дивергенция, ротор).

¶Историческая справка

Понятие радиус-вектора восходит к работам по векторному исчислению XIX века. Систематическое использование радиус-векторов в механике связано с трудами У. Гамильтона, который применял кватернионы, и О. Коши, развивавшего векторные методы. В современном виде векторная нотация закрепилась благодаря работам Дж. У. Гиббса и О. Хевисайда в конце XIX века.

¶Обобщения

В многомерных пространствах радиус-вектор определяется аналогично как набор \( n \) координат. В римановой геометрии роль радиус-вектора выполняет координатное отображение, а в аффинных пространствах — вектор, соединяющий начало отсчёта с точкой. В теории относительности используется четырёхмерный радиус-вектор событий, включающий временную координату.