Закон Стокса

Закон Стокса (закон Стокса, формула Стокса) — физический закон, описывающий силу трения (силу сопротивления), действующую на сферическое тело, движущееся в вязкой жидкости (или газе) при малых скоростях (ламинарном обтекании). Закон устанавливает прямую пропорциональность силы сопротивления радиусу тела, его скорости и динамической вязкости среды.

История

Закон был впервые выведен в 1851 году британским физиком и математиком Джорджем Габриелем Стоксом (1819—1903) в рамках его работы над гидродинамикой. Стокс, решая уравнения Навье — Стокса для случая медленного обтекания шара, получил аналитическое выражение для силы сопротивления. Этот результат стал важным этапом в развитии классической гидродинамики и теории вязкости.

Формулировка

Для твёрдого шара радиусом \( r \), движущегося с постоянной скоростью \( v \) в неограниченной вязкой жидкости с динамической вязкостью \( \eta \), сила сопротивления \( F \) выражается формулой:

\[ F = 6 \pi \eta r v \]

При этом предполагается, что:

• число Рейнольдса \( Re \ll 1 \) (ламинарный режим течения);
• жидкость несжимаема и однородна;
• шар абсолютно твёрдый, его поверхность не скользит относительно жидкости (условие прилипания);
• влияние границ сосуда и других тел пренебрежимо мало.

Вывод из уравнений Навье — Стокса

Стокс решил линеаризованные уравнения Навье — Стокса (без учёта инерционных членов) для сферической геометрии. Решение даёт распределение давления и касательных напряжений на поверхности шара, интегрирование которых приводит к указанной формуле. Полная сила складывается из составляющей, связанной с давлением (2/3 от общей силы), и вязкой составляющей (1/3).

Область применимости и ограничения

Закон Стокса справедлив только при малых числах Рейнольдса, когда силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости. Критерий:

\[ Re = \frac{2 \rho r v}{\eta} \ll 1 \]

где \( \rho \) — плотность жидкости.

При \( Re > 1 \) начинают проявляться инерционные эффекты, и закон Стокса даёт заниженное значение силы сопротивления. Для более высоких скоростей используются поправочные коэффициенты (например, формула Озеена или эмпирические зависимости).

Ограничения

• Границы сосуда: вблизи стенок или дна сила сопротивления возрастает из-за дополнительного вязкого торможения. Для учёта вводят поправочные множители (например, формула Ладенбурга).
• Несферическая форма: для частиц неправильной формы применяют эквивалентный радиус (радиус сферы того же объёма) и динамический форм-фактор.
• Сжимаемость среды: при высоких скоростях (в газах) закон неприменим из-за возникновения ударных волн.

Применение

Закон Стокса широко используется в науке и технике для расчёта движения мелких частиц в вязких средах.

Седиментация

В химической технологии и аналитической химии закон Стокса используется для описания оседания частиц в жидкости (седиментации). Скорость оседания сферической частицы под действием силы тяжести (с учётом силы Архимеда) выражается формулой:

\[ v = \frac{2}{9} \frac{(\rho_p - \rho_f) g r^2}{\eta} \]

где \( \rho_p \) — плотность частицы, \( \rho_f \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения. Эта формула лежит в основе гранулометрического анализа (метод седиментации) и работы отстойников.

Аэродинамика и гидродинамика

• Осаждение аэрозолей: расчёт движения капель тумана, пыли или дыма в воздухе.
• Вязкость жидкостей: вискозиметры с падающим шариком (например, вискозиметр Гёпплера) работают на основе закона Стокса. Измеряя скорость падения шарика в жидкости, определяют её динамическую вязкость.
• Биофизика: движение бактерий, спор и мелких организмов в воде; осаждение эритроцитов в плазме крови (скорость оседания эритроцитов — СОЭ).

Геофизика

• Магма и лава: оценка скорости всплытия пузырьков газа или кристаллов в вязкой магме.
• Океанология: осаждение взвешенных частиц (планктон, детрит) в толще воды.

Микрофлюидика

В микрофлюидных устройствах закон Стокса используется для расчёта движения частиц в микроканалах, где числа Рейнольдса крайне малы.

Модификации и обобщения

• Формула Озеена (1910): учитывает первый инерционный член и даёт поправку для \( Re \) до 1:

\[ F = 6 \pi \eta r v \left(1 + \frac{3}{16} Re \right) \]

• Закон Стокса для капель и пузырей: для жидких капель или газовых пузырьков, движущихся в другой жидкости, формула модифицируется с учётом внутренней циркуляции (коэффициент зависит от отношения вязкостей сред).
• Влияние скольжения: для газов при очень малых давлениях (разреженные среды) или для наночастиц может потребоваться учёт эффекта скольжения на поверхности (поправка Каннингема).

Интересные факты

• Закон Стокса лежит в основе метода определения вязкости жидкостей с помощью вискозиметра с падающим шариком, который был предложен ещё в XIX веке и до сих пор используется в лабораторной практике.
• В 2000-х годах закон Стокса был экспериментально подтверждён для движения микрочастиц в оптических ловушках (лазерных пинцетах), где силы вязкости доминируют.
• Стокс вывел свой закон, решая задачу обтекания шара, но сам не смог получить полного аналитического решения для произвольных тел — это стало возможным только с развитием вычислительной гидродинамики.

Источники

1. Стокс Дж. Г. «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников» (On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums), 1851.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Гидродинамика» (Теоретическая физика, том VI). — М.: Наука, 1986.
3. Бэтчелор Дж. «Введение в динамику жидкости». — М.: Мир, 1973.
4. Happel J., Brenner H. «Low Reynolds Number Hydrodynamics». — Springer, 1983.
5. Bird R. B., Stewart W. E., Lightfoot E. N. «Transport Phenomena». — Wiley, 2002.