Аксиома детерминированности

Аксиома детерминированности (AD, от англ. Axiom of Determinacy) — это утверждение теории множеств, которое постулирует, что для любой бесконечной игры двух игроков с полной информацией один из игроков имеет выигрышную стратегию. Аксиома является альтернативой аксиоме выбора (AC) и существенно меняет свойства множеств действительных чисел, в частности, влечёт, что все подмножества континуума измеримы по Лебегу и обладают свойством Бэра. Аксиома детерминированности несовместима с аксиомой выбора, но согласуется с теорией Цермело — Френкеля без аксиомы выбора (ZF) и имеет важные следствия для дескриптивной теории множеств и теории кардиналов.

История

Идея аксиомы детерминированности восходит к работам польских математиков 1920-х — 1930-х годов, в частности, к исследованиям Стефана Банаха, Казимежа Куратовского и Станислава Мазура, которые изучали игры с бесконечным числом ходов. В 1935 году Мазур сформулировал задачу о существовании выигрышной стратегии в так называемой «игре Банаха — Мазура», что стало предтечей аксиомы. Однако формальное определение аксиомы детерминированности было предложено в 1962 году американским математиком Яном Мыцельским и независимо польским математиком Хуго Штейнгаузом. Мыцельский и Штейнгауз рассматривали аксиому как альтернативу аксиоме выбора, позволяющую избежать парадоксальных следствий последней, таких как существование неизмеримых множеств.

В 1964 году американский математик Роберт Соловей показал, что аксиома детерминированности для борелевских множеств (более слабая форма) доказуема в ZFC (теории Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). В 1970-х годах работы Дональда Мартина, Джона Стила и других математиков привели к доказательству того, что аксиома детерминированности для проективных множеств (PD) следует из существования больших кардиналов, таких как измеримые кардиналы и кардиналы Вудина. В 1980-х годах Хью Вудин и Джон Стил установили, что аксиома детерминированности для всех подмножеств действительных чисел (AD) эквивалентна существованию определённых моделей теории множеств с большими кардиналами, в частности, с кардиналами Вудина.

Определение и формализация

Игра Гейла — Стюарта

Аксиома детерминированности формулируется в терминах бесконечной игры двух игроков, известной как игра Гейла — Стюарта. Игра определяется следующим образом:

• Задано множество \( A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N} \) (множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел).
• Игроки I и II поочерёдно выбирают натуральные числа: игрок I выбирает \( x_0 \), затем игрок II выбирает \( x_1 \), затем игрок I — \( x_2 \), и так далее до бесконечности.
• В результате образуется бесконечная последовательность \( x = (x_0, x_1, x_2, \dots) \).
• Игрок I выигрывает, если \( x \in A \); игрок II выигрывает, если \( x \notin A \).

Стратегией для игрока называется функция, которая по конечной последовательности ходов противника определяет следующий ход данного игрока. Выигрышная стратегия — это стратегия, которая гарантирует победу игрока независимо от ходов противника.

Формулировка аксиомы

Аксиома детерминированности (AD) утверждает: для любого множества \( A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N} \) в игре Гейла — Стюарта один из игроков (I или II) имеет выигрышную стратегию. Иными словами, любая такая игра является детерминированной.

Более общая форма аксиомы, AD\(_\mathbb{R}\), постулирует детерминированность для игр, где игроки выбирают действительные числа, а не натуральные. Однако стандартная аксиома детерминированности обычно понимается как AD для игр с натуральными числами.

Связь с аксиомой выбора

Аксиома детерминированности противоречит аксиоме выбора (AC) в её полной форме. В ZFC (ZF + AC) можно построить недетерминированную игру, то есть такое множество \( A \), для которого ни один из игроков не имеет выигрышной стратегии. Это следует из того, что аксиома выбора позволяет доказать существование неизмеримых множеств, а аксиома детерминированности, напротив, влечёт измеримость всех множеств.

Однако AD согласуется с ZF (без AC) и с более слабыми формами выбора, такими как аксиома счётного выбора. В моделях ZF + AD аксиома выбора не выполняется, но многие её следствия, полезные для анализа, сохраняются (например, существование базиса Гамеля для пространства \(\mathbb{R}\) над \(\mathbb{Q}\) в AD недоказуемо, но и не опровергается).

Следствия аксиомы детерминированности

Свойства множеств действительных чисел

В ZF + AD все подмножества действительных чисел обладают следующими регулярными свойствами:

• Измеримость по Лебегу: каждое множество \( A \subseteq \mathbb{R} \) измеримо по Лебегу.
• Свойство Бэра: каждое множество имеет свойство Бэра (является либо открытым, либо множеством первой категории с точностью до множества первой категории).
• Свойство совершенного множества: каждое несчётное множество содержит совершенное подмножество (мощность континуума).

Эти свойства противоречат аксиоме выбора, которая позволяет построить неизмеримые множества (например, множество Витали).

Дескриптивная теория множеств

AD влечёт, что все проективные множества (множества, получаемые из борелевских проекциями и дополнениями) детерминированы. Это приводит к сильным результатам в дескриптивной теории множеств:

• Все проективные множества измеримы по Лебегу и обладают свойством Бэра.
• Для проективных множеств выполняется теорема об отделимости.
• Иерархия проективных множеств стабилизируется на уровне \(\Delta^1_2\).

Теория кардиналов

В ZF + AD кардиналы ведут себя необычно:

• Континуум \(\mathfrak{c}\) (мощность \(\mathbb{R}\)) является слабо недостижимым кардиналом и даже слабо компактным.
• Все кардиналы ниже \(\mathfrak{c}\) являются либо счётными, либо имеют кофинальность \(\omega\).
• Аксиома детерминированности влечёт, что \(\aleph_1\) (первый несчётный кардинал) является измеримым кардиналом в модели, построенной с помощью внутренних моделей.

Отсутствие неизмеримых множеств

Одним из наиболее известных следствий AD является отсутствие неизмеримых по Лебегу множеств действительных чисел. Это делает AD привлекательной для математиков, работающих в области анализа и теории меры, поскольку она позволяет избежать парадоксов, связанных с аксиомой выбора.

Отношение к большим кардиналам

Аксиома детерминированности тесно связана с существованием больших кардиналов. В 1980-х годах Хью Вудин и Джон Стил доказали, что AD эквивалентна существованию модели теории множеств, содержащей все действительные числа и удовлетворяющей аксиоме детерминированности, при условии существования определённых больших кардиналов, таких как кардиналы Вудина. В частности, AD следует из существования бесконечно многих кардиналов Вудина и измеримого кардинала выше них. Эта эквивалентность является центральным результатом современной теории множеств.

Критика и альтернативы

Аксиома детерминированности не является общепринятой в математике, поскольку она противоречит аксиоме выбора, которая широко используется в большинстве областей математики. Большинство математиков работают в ZFC, где AD не выполняется. Однако AD рассматривается как важная аксиома для дескриптивной теории множеств и теории меры, а также как инструмент для изучения свойств континуума.

Альтернативой AD является аксиома проективной детерминированности (PD), которая постулирует детерминированность только для проективных множеств. PD согласуется с ZFC и доказуема из существования больших кардиналов. Другой альтернативой является аксиома детерминированности для борелевских множеств, которая доказуема в ZFC.

Применение

Аксиома детерминированности находит применение в:

• Дескриптивной теории множеств: для доказательства регулярности проективных множеств.
• Теории меры: для построения моделей, где все множества измеримы.
• Теории игр: как пример бесконечной игры с полной информацией.
• Математической логике: для изучения относительной непротиворечивости аксиом теории множеств.

Источники

• Jech, Thomas. Set Theory. Springer, 2003.
• Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings. Springer, 2003.
• Moschovakis, Yiannis N. Descriptive Set Theory. North-Holland, 1980.
• Steel, John R. The Core Model Iterability Problem. Springer, 1996.
• Woodin, W. Hugh. The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal. de Gruyter, 1999.