Аксиома выбора

Аксиома выбора — это утверждение теории множеств, которое гласит, что для любого семейства непустых множеств существует функция, выбирающая ровно по одному элементу из каждого множества этого семейства. Формально, аксиома выбора (сокращённо AC, от англ. Axiom of Choice) является одной из аксиом системы Цермело — Френкеля (ZF) и обычно обозначается как ZFC (ZF с аксиомой выбора). Она не является логически необходимой (не выводится из других аксиом ZF) и остаётся предметом дискуссий среди математиков: её принимают далеко не все, а многие результаты современной математики, особенно в анализе, алгебре и топологии, без неё недоказуемы.

История

Первоначально аксиома выбора была сформулирована Эрнстом Цермело в 1904 году для доказательства теоремы о вполне упорядочивании любого множества. В то время аксиома вызвала значительные споры, так как интуитивно кажется очевидной для конечных семейств, но для бесконечных — нет: «выбрать по одному элементу из каждого бесконечного множества» невозможно описать явно, не прибегая к допущению. Цермело включил аксиому выбора в свою систему аксиом теории множеств (1908), но лишь в 1922 году Абрахам Френкель и Торальф Сколем уточнили формулировки, что привело к современной системе ZF.

Формулировка и эквиваленты

Классическая формулировка

Пусть \(X\) — семейство непустых множеств (индексированное некоторым множеством \(I\)):

\[ \forall i\in I\;(X_i\neq\varnothing). \]

Тогда существует функция \(f: I\to\bigcup_{i\in I} X_i\) такая, что для каждого \(i\) выполняется \(f(i)\in X_i\). Эта функция называется функцией выбора.

Эквивалентные утверждения

Аксиома выбора эквивалентна (над ZF) многим другим важным утверждениям:

• Теорема Цермело о вполне упорядочивании: любое множество может быть вполне упорядочено (то есть существует бинарное отношение порядка, в котором каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент).
• Лемма Цорна (или лемма Куратовского — Цорна): если в частично упорядоченном множестве каждая цепь (линейно упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то во множестве существует максимальный элемент.
• Принцип максимума Хаусдорфа: любая цепь в частично упорядоченном множестве может быть расширена до максимальной цепи.
• Теорема Тихонова: произведение (в топологическом смысле) компактных топологических пространств компактно.
• Существование базиса у любого векторного пространства (в том числе бесконечномерного).
• Существование дополнения у любого подпространства векторного пространства (всегда существует проектор на это подпространство).
• Существование множества Витали: подмножества вещественных чисел, неизмеримого по Лебегу.
• Парадокс Банаха — Тарского: шар в трёхмерном евклидовом пространстве можно разбить на конечное число частей, которые затем перестановками (только вращениями и переносами) можно собрать в два шара того же объема.

Критика и альтернативы

Конструктивизм

Многие математики, особенно последователи интуиционизма и конструктивизма, отвергают аксиому выбора как неконструктивную: она постулирует существование объекта (функции выбора) без указания способа его построения. Например, из аксиомы выбора следует существование неизмеримых множеств (таких как множество Витали), что противоречит интуиции, основанной на измерении площади. С другой стороны, без неё многие классические теоремы анализа (например, теорема Хана — Банаха о продолжении линейного функционала) становятся недоказуемыми.

Альтернативные аксиомы

В теории множеств разработаны более слабые варианты аксиомы выбора:

• Счётная аксиома выбора (CC): функция выбора существует для любого счётного семейства непустых множеств.
• Зависимый выбор (DC): более сильное, чем CC, но более слабое, чем полная AC; достаточно для построения последовательностей в метрических пространствах и доказательства теоремы Бэра о категориях.
• Аксиома детерминированности (AD): противоречит AC (над ZF), но позволяет избегать многих парадоксов, связанных с неизмеримостью; используется в дескриптивной теории множеств.

Независимость и непротиворечивость

Курт Гёдель (1938) доказал, что аксиома выбора не противоречит ZF (относительно непротиворечивости ZF) — то есть в ZF нельзя опровергнуть AC. Позже (1963) Пол Коэн методом форсинга доказал, что AC не выводится из ZF: существует модель ZF, в которой аксиома выбора ложна. Таким образом, AC является независимой от ZF.

Применение в математике

Анализ

• Теорема Хана — Банаха (о продолжении линейного функционала) доказывается с помощью леммы Цорна (эквивалента AC). Без неё невозможно гарантировать существование линейного функционала, отделяющего точку от выпуклого замкнутого множества.
• Теорема Банаха — Алаоглу (компактность единичного шара в сопряженном пространстве) также опирается на AC.
• Существование ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве — следствие леммы Цорна.

Алгебра

• Каждое векторное пространство имеет базис (включая бесконечномерные). В частности, пространство всех функций \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) имеет базис мощности континуум.
• Существование максимальных идеалов в кольцах (например, в кольце вещественнозначных непрерывных функций на топологическом пространстве) — следствие леммы Цорна.
• Теорема о существовании алгебраического замыкания для любого поля — используется лемма Цорна.

Топология

• Теорема Тихонова: произведение любого числа компактных пространств компактно в топологии произведения. Это утверждение эквивалентно AC.
• Существование компактификации Стоуна — Чеха для любого тихоновского пространства — также требует AC.

Теория меры

• Существование множества Витали — прямое применение аксиомы выбора к фактор-множеству вещественных чисел по рациональным сдвигам.
• Парадокс Банаха — Тарского — эффектное следствие аксиомы выбора: шар в \(\mathbb{R}^3\) можно разбить на пять частей (две из которых измеримы, три — нет) и собрать из них два шара того же объёма, используя только изометрии.

Интересные факты

• Аксиома выбора необходима для построения примеров неограниченных линейных функционалов на банаховых пространствах (например, на \(\ell^\infty\)).
• Без AC невозможно доказать, что существуют функции \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), не являющиеся борелевскими (в ZF все такие функции могут оказаться борелевскими).
• В комбинаторике аксиома выбора используется для существования ультрафильтров на бесконечных множествах, а в теории графов — для существования полного паросочетания в произвольном бесконечном двудольном графе (теорема Маршала Холла).
• Статус аксиомы выбора в ZFC остаётся одним из самых обсуждаемых вопросов оснований математики. В 1960-х годах академик А. Н. Колмогоров активно выступал против её принятия в конструктивной математике, считая её неконструктивным допущением.
• В России и бывших советских республиках в курсах функционального анализа и общей топологии аксиому выбора обычно принимают (система ZFC), но с оговоркой, что она является дополнительным допущением. В учебниках по теории меры часто сразу упоминают аксиому выбора при построении неизмеримого множества.

Источники

• Эрнст Цермело, «О доказательстве того, что каждое множество может быть вполне упорядочено» (1904).
• Курт Гёдель, «Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщённой континуум-гипотезы» (1938).
• Пол Коэн, «Теория множеств и континуум-гипотеза» (1966).
• Т. Дж. Йех, «Аксиома выбора» (1973).
• А. Н. Колморов, С. В. Фомин, «Элементы теории функций и функционального анализа» (1976) — параграф о неизмеримых множествах.
• Лекции по теории множеств (МГУ, 1980-е годы) — обсуждение независимости AC.