Аксиоматика фон Неймана

Аксиоматика фон Неймана — один из вариантов аксиоматической теории множеств, в котором все математические объекты (числа, функции, множества) строятся на основе единственной базовой сущности — класса. Эта система была предложена американским математиком Джоном фон Нейманом в 1925—1928 годах как попытка разрешить парадоксы, свойственные наивной теории множеств (например, парадокс Рассела), и построить непротиворечивый фундамент для всей математики. В отличие от системы Цермело — Френкеля (ZF), аксиоматика фон Неймана использует понятие «класс» как первичный объект, а не только как производное от множеств.

История

Предпосылки

В начале XX века интенсивное развитие теории множеств столкнулось с логическими противоречиями. Например, рассмотрение «множества всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента» приводило к парадоксу Рассела. Чтобы избежать таких трудностей, математики начали разрабатывать аксиоматические системы, строго ограничивающие, какие образования могут считаться множествами.

Работы фон Неймана

В 1925 году Джон фон Нейман опубликовал работу «Об одной аксиоматике теории множеств» (Über eine Axiomatisierung der Mengenlehre), в которой предложил оригинальный подход. Он ввёл различие между «классами» (любыми совокупностями, заданными свойством) и «множествами» (классами, которые сами могут быть элементами других классов). Это позволило, с одной стороны, сохранить возможность оперировать большими совокупностями (например, класс всех множеств), а с другой — избежать парадоксов, запретив «большим» классам быть элементами.

Позднее, в 1928 году, фон Нейман уточнил систему, а в 1937—1940 годах Пол Бернайс и Курт Гёдель доработали её, создав «теорию множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя» (NBG). Система фон Неймана в её первоначальном виде включает 4 аксиомы и 1 правило образования классов.

Основные понятия

Фундаментальным понятием аксиоматики фон Неймана является класс. Класс — это любая совокупность объектов, заданная некоторым свойством (предикатом). Множеством называется такой класс, который может быть элементом другого класса. Если класс не может быть элементом (то есть не является множеством), его называют собственным классом (например, класс всех множеств).

В языке теории присутствуют два сорта переменных: строчные буквы (x, y, z) обычно обозначают множества, прописные (X, Y, Z) — произвольные классы. Отношение принадлежности x ∈ X определено для всех объектов.

Аксиомы (по фон Нейману, 1928)

В оригинальной версии фон Неймана аксиомы формулируются на языке функциональных букв (обозначений для отображений), что делает систему компактной. Ниже приведён современный пересказ в более привычных терминах.

1. Аксиома объёмности (экстенсиональности)

Два класса считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: ∀X ∀Y (X = Y ↔ ∀z (z ∈ X ↔ z ∈ Y)).

2. Аксиома образования классов

Для любой правильно построенной формулы φ(z, p₁, …, pₙ), в которой все кванторы ограничены множествами, существует класс, состоящий в точности из тех множеств z, для которых φ истинна (при заданных параметрах p₁, …, pₙ). Это правило позволяет строить классы по любым «разрешённым» условиям.

3. Аксиома множества (малой мощности)

Существует бесконечное множество (например, множество всех натуральных чисел). В аксиоматике это формулируется как существование класса, который является множеством и содержит пустое множество вместе со всеми его последователями в смысле фон Неймана.

4. Аксиома замены

Образ множества при функциональном отображении является множеством. Более формально: если F — функция (класс упорядоченных пар), определённая на множестве x, то класс {F(y) | y ∈ x} является множеством.

5. Аксиома фундирования (регулярности)

Всякий непустой класс A содержит элемент, минимальный по отношению ∈ (то есть элемент, который не пересекается с A). Эта аксиома исключает бесконечно убывающие цепочки x₁ ∋ x₂ ∋ x₃ ∋ … и гарантирует «хорошее поведение» иерархии множеств.

Сравнение с системой Цермело — Френкеля (ZF)

Важное различие: в ZF нельзя прямо говорить о «классе всех множеств» как об объекте — эта фраза является сокращением для некоторой формулы. В системе фон Неймана класс всех множеств — законный объект (собственный класс), с которым можно работать.

Интерпретация в иерархии фон Неймана

Аксиоматика фон Неймана естественным образом приводит к построению кумулятивной иерархии множеств — V. Эта иерархия начинается с пустого множества V₀ = ∅. Далее на каждом ординальном шаге α строится Vₐ₊₁ = P(Vₐ) (булеан), а на предельных ординалах Vₗ = ∪_{β<λ} V_β. Собственные классы в этой модели — это совокупности, которые «не умещаются» ни на каком шаге иерархии (например, V).

Фон Нейман использовал свою аксиоматику для построения порядковых чисел (ординалов) как транзитивных множеств, вполне упорядоченных отношением ∈. Это построение стало стандартным в современной теории множеств.

Применение и значение

• Основания математики: Система фон Неймана предоставляет строгую рамку для суждений о «больших» объектах (собственных классах), что востребовано, например, в теории категорий, где требуется говорить о категории всех множеств.
• Теория моделей: NBG (вариация системы) широко используется при доказательстве теорем о непротиворечивости и независимости аксиом.
• Информатика и теоретическое программирование: Понятия классов и множеств лежат в основе объектно-ориентированного подхода и формальных семантик.

Критика

Некоторые математики считают излишним введение классов как самостоятельной онтологии, поскольку все математические доказательства могут быть переписаны в рамках ZF, где классы трактуются как сокращения. Кроме того, в аксиоматике фон Неймана аксиома образования классов накладывает ограничения на то, какие формулы разрешены, что может быть неудобно.

Интересные факты

• Джон фон Нейман первоначально предложил 4 аксиомы, но позже добавил аксиому регулярности для устранения нерегулярных множеств.
• Система NBG (фон Нейман — Бернайс — Гёдель) является консервативным расширением ZF: каждое утверждение, доказуемое в NBG и формулируемое в языке ZF, доказуемо в ZF.
• В 1940 году Курт Гёдель использовал NBG для доказательства непротиворечивости аксиомы выбора и континуум-гипотезы.

См. также

• Теория множеств
• Аксиоматика Цермело — Френкеля
• Кумулятивная иерархия фон Неймана
• Парадокс Рассела

Источники

• Neumann, J. von. «Eine Axiomatisierung der Mengenlehre», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 154 (1925), 219—240.
• Neumann, J. von. «Die Axiomatisierung der Mengenlehre», Mathematische Zeitschrift, 27 (1928), 669—752.
• Gödel, K. «The Consistency of the Continuum Hypothesis», Annals of Mathematics Studies, No. 3, Princeton University Press, 1940.
• Fraenkel, A. A., Bar-Hillel, Y., Levy, A. «Foundations of Set Theory», 2nd ed., North-Holland, 1973.