Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости — это набор условий, накладываемых на топологическое пространство, которые определяют, насколько «хорошо» в нём отделены друг от друга точки и замкнутые множества. В общей топологии аксиомы отделимости служат для классификации топологических пространств по степени их близости к метрическим пространствам (в которых расстояния заданы явно) и позволяют формулировать и доказывать теоремы о существовании непрерывных функций, компактности и связности. Чаще всего аксиомы обозначаются буквой T (от немецкого Trennungsaxiom) с индексом: T₀, T₁, T₂, T₃, T₃½, T₄, T₅, T₆. Чем выше индекс, тем более сильные требования предъявляются к пространству. Аксиомы отделимости не являются независимыми: каждая следующая аксиома (начиная с T₁) обычно влечёт выполнение предыдущих, но существуют пространства, удовлетворяющие одним аксиомам и не удовлетворяющие другим.

История

Понятие отделимости возникло в начале XX века в работах немецкого математика Феликса Хаусдорфа. В 1914 году он опубликовал книгу «Основы теории множеств», где впервые систематически изложил аксиоматику топологических пространств. Хаусдорф ввёл аксиому, которая позже стала называться T₂ (или хаусдорфовость): любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Эта аксиома оказалась настолько естественной, что долгое время под топологическим пространством понимали именно хаусдорфово пространство.

В 1920-х — 1930-х годах польская школа топологии (Казимир Куратовский, Вацлав Серпинский, Стефан Мазуркевич) и советские математики (Павел Александров, Павел Урысон) разработали более тонкие аксиомы отделимости. Урысон в 1925 году доказал фундаментальную лемму о возможности продолжения непрерывных функций (лемма Урысона), которая связывает аксиомы T₄ и T₃½. В 1930-х годах американский математик Эдвард Чех ввёл понятие вполне регулярных пространств (T₃½). К середине XX века сложилась современная иерархия аксиом отделимости, включающая до T₆ (наследственно нормальные пространства).

Основные аксиомы отделимости

T₀ — пространство Колмогорова

Пространство называется T₀ (или колмогоровским), если для любых двух различных точек существует окрестность хотя бы одной из них, не содержащая другую. Иными словами, точки различимы в топологическом смысле: если две точки неразличимы (то есть имеют одинаковые окрестности), то они совпадают. Это самая слабая аксиома отделимости. Примером T₀-пространства является множество действительных чисел с топологией Зарисского (замкнутыми считаются конечные множества и всё пространство). В этом пространстве любые две точки различимы, но не обязательно имеют непересекающиеся окрестности.

T₁ — пространство Фреше

Пространство называется T₁ (или фреше́вским), если для любых двух различных точек существуют окрестности, каждая из которых не содержит другую точку. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты. T₁-пространство всегда является T₀. Пример: любое метрическое пространство (например, ℝⁿ с евклидовой метрикой) удовлетворяет T₁. Однако существуют T₁-пространства, не являющиеся хаусдорфовыми — например, топология счётного дополнения на бесконечном множестве.

T₂ — хаусдорфово пространство

Пространство называется T₂ (или хаусдорфовым), если любые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности. Это наиболее распространённая аксиома отделимости. В хаусдорфовом пространстве все одноточечные множества замкнуты (T₁), а компактные подмножества замкнуты. Хаусдорфовость является необходимым условием для многих теорем анализа и топологии: например, предел последовательности в хаусдорфовом пространстве единственен. Примеры: ℝⁿ, любое метрическое пространство, любое дискретное пространство.

T₃ — регулярное пространство

Пространство называется T₃ (или регулярным), если оно хаусдорфово (T₂) и для любого замкнутого множества F и точки x, не принадлежащей F, существуют непересекающиеся открытые окрестности F и x. Регулярность позволяет отделить точку от замкнутого множества. Пример: любое метрическое пространство регулярно. Существуют хаусдорфовы, но не регулярные пространства (например, плоскость с топологией Зоргенфрея).

T₃½ — вполне регулярное пространство (тихоновское)

Пространство называется T₃½ (или вполне регулярным, или тихоновским), если оно хаусдорфово и для любого замкнутого множества F и точки x ∉ F существует непрерывная функция f: X → [0, 1], такая что f(x) = 0 и f(F) = 1. Такие пространства также называют пространствами Тихонова. Они играют ключевую роль в теории компактификаций: любое тихоновское пространство допускает компактификацию Стоуна — Чеха. Все метрические пространства являются тихоновскими.

T₄ — нормальное пространство

Пространство называется T₄ (или нормальным), если оно хаусдорфово и для любых двух непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся открытые окрестности. Нормальность — сильное свойство, которое влечёт регулярность и полную регулярность. Лемма Урысона утверждает, что в нормальном пространстве для любых двух непересекающихся замкнутых множеств существует непрерывная функция, разделяющая их (аналог свойства T₃½ для замкнутых множеств). Теорема Титце о продолжении функций также справедлива в нормальных пространствах. Примеры: все метрические пространства, все компактные хаусдорфовы пространства. Существуют тихоновские, но не нормальные пространства (например, плоскость с топологией Зоргенфрея).

T₅ — наследственно нормальное пространство

Пространство называется T₅ (или наследственно нормальным), если оно хаусдорфово и каждое его подпространство нормально. Эквивалентное условие: любые два разделённых множества (то есть такие, что замыкание одного не пересекается с другим) имеют непересекающиеся окрестности. Все метрические пространства являются наследственно нормальными.

T₆ — совершенно нормальное пространство

Пространство называется T₆ (или совершенно нормальным), если оно нормально и каждое замкнутое множество является множеством нулей непрерывной функции (то есть существует непрерывная функция f: X → ℝ, такая что f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x принадлежит данному замкнутому множеству). Все метрические пространства совершенно нормальны.

Дополнительные аксиомы и обозначения

В литературе встречаются и другие аксиомы отделимости, которые не входят в стандартную иерархию T₀–T₆:

• T₁½ — пространство, в котором любая точка является пересечением замкнутых окрестностей. Иногда используется как промежуточное свойство между T₁ и T₂.
• T₂½ — пространство, в котором любые две различные точки имеют непересекающиеся замкнутые окрестности. Это свойство сильнее хаусдорфовости, но слабее регулярности.
• T₃₄ — пространство, в котором для любой точки и любого замкнутого множества существует непрерывная функция, разделяющая их, но не обязательно хаусдорфовость. Такие пространства называют вполне регулярными в смысле Тихонова без хаусдорфовости.
• T₅½ — пространство, в котором любые два разделённых множества имеют непересекающиеся замкнутые окрестности.

Связь с метризуемостью

Метрические пространства удовлетворяют всем аксиомам отделимости от T₀ до T₆. Однако обратное неверно: существуют пространства, удовлетворяющие T₆, но не являющиеся метризуемыми (например, компактное хаусдорфово пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме счётности). Теорема Урысона о метризации утверждает, что регулярное пространство со счётной базой метризуемо. Более общая теорема Бинга — Нагаты — Смирнова даёт необходимое и достаточное условие метризуемости: регулярное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно имеет локально конечную базу.

Примеры и контрпримеры

Значение в топологии

Аксиомы отделимости являются фундаментальным инструментом для классификации топологических пространств и построения теории непрерывных отображений. Они позволяют:

• Доказывать существование непрерывных функций (лемма Урысона, теорема Титце).
• Строить компактификации (компактификация Стоуна — Чеха для тихоновских пространств, одноточечная компактификация Александрова для локально компактных хаусдорфовых пространств).
• Изучать свойства компактных пространств (в хаусдорфовом пространстве компактные множества замкнуты, произведение компактных хаусдорфовых пространств компактно — теорема Тихонова).
• Развивать теорию равномерных пространств и метризацию.

Без аксиом отделимости многие результаты общей топологии, такие как теорема о существовании непрерывной функции, разделяющей замкнутые множества, были бы неверны. Поэтому аксиомы отделимости являются неотъемлемой частью любого курса общей топологии.

Источники

1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977.
2. Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
3. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986.
4. Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — М.: ГИТТЛ, 1951.
5. Willard S. General Topology. — Dover Publications, 2004.