Альфред Тарский

Альфред Тарский (полное имя Альфред Тайтельбаум, 14 января 1901, Варшава, Российская империя — 26 октября 1983, Беркли, США) — польско-американский математик, логик и философ, один из наиболее значительных представителей Львовско-варшавской логической школы. Внёс фундаментальный вклад в теорию моделей, теорию множеств, общую алгебру и, прежде всего, в формальную семантику. Наиболее известен разработкой семантической теории истины (конвенция T) и доказательством теоремы о неразрешимости арифметики (теорема Тарского о невыразимости истины).

Биография

Ранние годы и образование

Родился в состоятельной еврейской семье в Варшаве, которая тогда входила в состав Российской империи. Его отец, Игнаций Тайтельбаум, был владельцем лесопильного завода. В 1915 году семья переехала в Россию, но после окончания Первой мировой войны вернулась в Польшу.

В 1918 году поступил в Варшавский университет, первоначально намереваясь изучать биологию, но быстро переключился на математику и логику. Его учителями были выдающиеся логики и математики: Станислав Лесьневский, Ян Лукасевич и Вацлав Серпинский. В 1924 году, после защиты докторской диссертации на тему «Об исключении логической аксиомы при построении арифметической теории» (руководитель Лесьневский), получил учёную степень.

Карьера в Польше

В 1925 году Альфред Тайтельбаум вместе с братом Яном сменил фамилию на Тарский, чтобы избежать антисемитской дискриминации при академическом трудоустройстве. В 1925—1939 годах преподавал в Варшавском университете (с 1937 года — профессор). В этот период создал свои основополагающие работы по теории истины и логике. В 1935 году опубликовал (на немецком языке) работу «Понятие истины в языках дедуктивных наук», которая принесла ему международную известность. В 1930-е годы совершил несколько научных поездок в Австрию, Францию и США, где читал лекции в Гарварде и Принстоне.

Эмиграция и работа в США

Начало Второй мировой войны застало Тарского во время научной конференции в США. Он принял решение остаться в Америке. Его жена, Мария Винцентина, и двое их детей, Инесса и Ян, смогли присоединиться к нему только в 1946 году. Во время войны он работал в Калифорнийском университете в Беркли (1942). В 1945 году получил гражданство США. С 1946 года и до выхода на пенсию в 1968 году являлся профессором математики в Беркли. Основал влиятельную калифорнийскую школу логики; под его руководством защищены десятки докторских диссертаций (среди учеников — Соломон Феферман, Ричард Монтегю, Дана Скотт). Скончался в 1983 году.

Вклад в логику и математику

Семантическая теория истины

Центральная работа Тарского — «Понятие истины в формализованных языках» (1935). Он впервые дал математически строгое определение понятия истины для формальных языков. Ввёл так называемую конвенцию T (T-схему): утверждение вида «S есть истина» эквивалентно самому S, где S — предложение языка-объекта, а «S» — его название в метаязыке. Например: «Снег бел» истинно тогда и только тогда, когда снег бел.

Это определение позволило разрешить парадоксы (в частности, парадокс лжеца) за счёт чёткого разграничения языка-объекта и метаязыка. Тарский показал, что полное и непротиворечивое определение истины невозможно сформулировать для достаточно выразительного языка, если не использовать более богатый метаязык.

Теорема Тарского о невыразимости истины

В 1936 году Тарский доказал, что для формальных систем, включающих элементарную арифметику (арифметику Пеано), невозможно построить предикат истины, определимое средствами самой этой системы (если система непротиворечива). Иначе говоря, не существует корректного и адекватного семантического определения истины, которое можно было бы задать внутри языка арифметики. Этот результат является одним из фундаментальных ограничительных теорем логики наряду с теоремами Гёделя о неполноте. Если теоремы Гёделя относятся к доказуемости, то теорема Тарского — к истине.

Аксиоматизация элементарной геометрии и теории множеств

Тарский внёс значительный вклад в аксиоматизацию геометрии. В 1930-е годы он разработал первую полную и разрешимую аксиоматическую систему для евклидовой геометрии (аксиоматика Тарского), основанную на примитивных понятиях точки и отношения «между». Система Тарского для евклидовой геометрии оказалась элементарно эквивалентной полной теории, что позволило применять к ней методы теории моделей.

В теории множеств ему принадлежат результаты об аксиоме выбора и континуум-гипотезе (теорема Тарского–Анселя, работы о недостижимых кардиналах). Он ввёл в употребление понятия сильно недостижимого кардинала и ультрафильтра.

Теория моделей и универсальная алгебра

Совместно с Леоном Хенкиным и Авраамом Робинсоном Тарский считается одним из основателей современной теории моделей. Он определил фундаментальные понятия элементарной подмодели, элементарной эквивалентности, компактности. В 1950-е годы разработал исчисление цилиндрических алгебр как алгебраическую версию логики предикатов. Значительный корпус работ посвящён булевым алгебрам, решёткам и их применениям в логике.

Основные работы

• «Понятие истины в языках дедуктивных наук» (1933/1935, на польском и немецком)
• «Логика, семантика, метаматематика» (1956) — сборник статей, переведённых на английский язык
• «A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry» (1948, совместно с Дж. Мак-Кинси)
• «Undecidable Theories» (1953, совместно с А. Мостовски и Р.М. Робинсоном)

Критика и влияние

Влияние на философию

Идеи Тарского оказали глубокое влияние на аналитическую философию, особенно на философию языка. Его формальное понятие истины использовали и обсуждали Карл Поппер, Стросон, Куайн, Дональд Дэвидсон и другие. Конвенция T вошла в стандартный инструментарий философской семантики.

Критика

Некоторые философы, в частности Пол Горвиц и Хартри Филд, указывали на ограниченность теории Тарского — она применима исключительно к формализованным языкам и не даёт содержательного корреспондентного определения истины для естественного языка. Сам Тарский признавал это: «Мои собственные исследования семантики касаются исключительно формализованных языков и не распространяются на естественный язык».

Избранные факты

• В математике распространён термин «алгоритм Тарского» для задачи разрешимости элементарной геометрии.
• Именем Тарского названы кратер на Луне (Тарский) и астероид (13672 Tarski).
• Тарский известен своим остроумием и склонностью к софистическим задачам: однажды он доказал, что теорема о делении шара на конечное число частей, из которых можно собрать два шара такого же размера (парадокс Хаусдорфа—Банаха—Тарского), является следствием аксиомы выбора, чем шокировал многих коллег.

Источники

• Givant S. R., McKenzie R. (eds.) Alfred Tarski: Collected Papers. — Birkhäuser, 1986.
• Feferman A. B., Feferman S. Alfred Tarski: Life and Logic. — Cambridge University Press, 2004.
• Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. — Hackett Publishing, 1983.
• Кудрявцев А. А. Логика Альфреда Тарского. — М.: Наука, 1998.