Алгоритм Карре

Алгоритм Карре — это итеративный численный метод, используемый для решения задач линейного программирования, в частности, для поиска оптимального решения в задачах с большим числом переменных и ограничений. Алгоритм был предложен французским математиком и экономистом Жаком Карре (Jacques Carré) в 1960-х годах как альтернатива классическому симплекс-методу, ориентированная на повышение вычислительной эффективности в определённых классах задач. Основная идея метода заключается в последовательном улучшении допустимого решения путём движения вдоль рёбер многогранника, образованного системой линейных неравенств, с использованием специальных правил выбора направления и шага.

История

Алгоритм Карре был разработан в контексте бурного развития вычислительной математики и исследования операций в середине XX века. В 1950–1960-е годы симплекс-метод, предложенный Джорджем Данцигом, стал основным инструментом для решения задач линейного программирования. Однако с ростом размерности задач (тысячи и десятки тысяч переменных) возникла потребность в методах, которые могли бы быстрее сходиться к оптимальному решению, особенно в задачах с разреженными матрицами ограничений.

Жак Карре, работавший в Национальном центре научных исследований Франции (CNRS), опубликовал свою работу в 1964 году. В ней он предложил модификацию симплекс-метода, основанную на использовании так называемых «псевдостоимостей» (pseudo-costs) для оценки потенциального улучшения целевой функции при введении в базис небазисной переменной. В отличие от стандартного симплекс-метода, где выбор вводимой переменной определяется только значением коэффициента в целевой функции (редуцированной стоимости), алгоритм Карре учитывал также структуру ограничений и текущее состояние базиса.

В 1970-х годах алгоритм привлёк внимание исследователей в СССР, где он был адаптирован для решения задач планирования в промышленности и транспорте. В частности, советские математики (например, В. А. Булавский и его школа) разработали модификации алгоритма для задач с блочно-диагональной структурой ограничений, что позволило эффективно решать задачи распределения ресурсов в крупных производственных системах.

Основные принципы

Постановка задачи

Алгоритм Карре применяется к задаче линейного программирования в стандартной форме:

\[ \begin{aligned} & \text{максимизировать} \quad \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ & \text{при ограничениях} \quad A \mathbf{x} \leq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0, \end{aligned} \]

где \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) — вектор переменных, \(\mathbf{c} \in \mathbb{R}^n\) — вектор коэффициентов целевой функции, \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) — матрица ограничений, \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m\) — вектор правых частей. Предполагается, что множество допустимых решений непусто и ограничено.

Итеративная процедура

Алгоритм начинает работу с некоторого допустимого базисного решения (обычно получаемого с помощью метода искусственного базиса или двухфазного симплекс-метода). На каждой итерации выполняются следующие шаги:

1. Вычисление редуцированных стоимостей. Для всех небазисных переменных \(x_j\) вычисляется редуцированная стоимость \(\bar{c}_j = c_j - \mathbf{c}_B^T B^{-1} A_j\), где \(B\) — базисная матрица, \(\mathbf{c}_B\) — вектор коэффициентов целевой функции для базисных переменных, \(A_j\) — столбец матрицы \(A\), соответствующий переменной \(x_j\).

1. Оценка псевдостоимостей. Для каждой небазисной переменной \(x_j\) вычисляется псевдостоимость \(p_j = \bar{c}_j \cdot \alpha_j\), где \(\alpha_j\) — коэффициент, учитывающий «затраты» на увеличение переменной (например, количество ненулевых элементов в столбце \(A_j\) или длина дуги движения вдоль ребра многогранника). В оригинальной версии Карре \(\alpha_j\) определялся как \(\alpha_j = \max_i |(B^{-1} A_j)_i|\), если \(B^{-1} A_j \geq 0\), иначе \(\alpha_j = \infty\) (переменная не может быть увеличена).

1. Выбор вводимой переменной. Выбирается небазисная переменная с максимальной положительной псевдостоимостью (в задаче максимизации). Если все псевдостоимости неположительны, текущее решение является оптимальным, и алгоритм завершается.

1. Определение выводимой переменной. Вычисляется максимально возможное увеличение вводимой переменной \(x_k\) без нарушения ограничений: \(\theta = \min_{i: (B^{-1} A_k)_i > 0} \frac{(B^{-1} \mathbf{b})_i}{(B^{-1} A_k)_i}\). Переменная, соответствующая минимальному отношению, выводится из базиса.

1. Обновление базиса. Выполняется пересчёт базисной матрицы \(B\) и вектора базисных переменных с помощью преобразования Гаусса — Жордана (или метода обратной матрицы).

Отличия от симплекс-метода

Основное отличие алгоритма Карре от классического симплекс-метода заключается в критерии выбора вводимой переменной. В симплекс-методе выбирается переменная с наибольшей положительной редуцированной стоимостью (или по правилу Бланда для предотвращения зацикливания). В алгоритме Карре редуцированная стоимость умножается на весовой коэффициент \(\alpha_j\), который отражает «трудность» увеличения переменной. Это позволяет избежать выбора переменных, которые приводят к малым шагам и, следовательно, к медленной сходимости.

Классификация и варианты

По типу задач

Алгоритм Карре может быть адаптирован для различных классов задач линейного программирования:

• Задачи с разреженными матрицами. В таких задачах использование псевдостоимостей позволяет сократить число итераций, так как алгоритм предпочитает переменные, которые приводят к большим изменениям целевой функции.
• Задачи с блочной структурой. Для задач, где матрица ограничений состоит из нескольких блоков (например, в задачах планирования производства), алгоритм Карре может быть модифицирован для работы с каждым блоком отдельно, что ускоряет вычисления.
• Задачи с целочисленными переменными. В комбинации с методами отсечений (например, методом Гомори) алгоритм может использоваться для решения задач целочисленного линейного программирования.

По методу вычисления псевдостоимостей

Существует несколько вариантов определения \(\alpha_j\):

• Стандартный вариант Карре: \(\alpha_j = \max_i |(B^{-1} A_j)_i|\).
• Вариант с нормой: \(\alpha_j = \|B^{-1} A_j\|_1\) или \(\alpha_j = \|B^{-1} A_j\|_\infty\).
• Адаптивный вариант: \(\alpha_j\) пересчитывается на каждой итерации в зависимости от текущего состояния базиса, например, как \(\alpha_j = \frac{1}{\min_i (B^{-1} A_j)_i}\) (если все компоненты положительны).

Применение

Промышленность и транспорт

Алгоритм Карре применялся в 1970–1980-х годах для решения задач оптимизации в крупных промышленных системах, таких как планирование загрузки оборудования, распределение сырья и маршрутизация транспорта. В СССР он использовался в системах автоматизированного планирования (АСУ) на предприятиях машиностроения и металлургии. Например, в задаче оптимизации раскроя листового металла алгоритм позволял сократить количество отходов на 3–5% по сравнению с симплекс-методом.

Экономика и финансы

В экономике алгоритм применялся для решения задач линейного программирования в моделях межотраслевого баланса (модель Леонтьева) и в задачах оптимального распределения инвестиций. В финансовом секторе он использовался для построения портфелей ценных бумаг с минимальным риском при заданной доходности (модель Марковица), где ограничения задаются линейными неравенствами.

Научные исследования

В вычислительной математике алгоритм Карре изучался как пример метода, сочетающего свойства симплекс-метода и градиентных методов. Он использовался в сравнительных исследованиях эффективности алгоритмов линейного программирования на случайных тестовых задачах. Результаты показали, что на задачах с размерностью до 1000 переменных и 500 ограничений алгоритм Карре в среднем на 20–30% быстрее симплекс-метода, но уступает методам внутренней точки (например, алгоритму Кармаркара) на задачах с большим числом переменных.

Критика и ограничения

Несмотря на определённые преимущества, алгоритм Карре имеет ряд недостатков:

• Чувствительность к масштабированию. Псевдостоимости зависят от масштаба переменных и ограничений, что может приводить к нестабильности при плохо обусловленных задачах.
• Сложность реализации. Вычисление псевдостоимостей требует дополнительных операций с матрицами, что увеличивает время одной итерации по сравнению с симплекс-методом.
• Отсутствие гарантии сходимости. В некоторых случаях алгоритм может зацикливаться или сходиться к неоптимальному решению, особенно при вырожденных базисах.
• Ограниченная область применения. С развитием методов внутренней точки (1980-е годы) и современных коммерческих решателей (например, CPLEX, Gurobi) алгоритм Карре утратил практическое значение для большинства прикладных задач. В настоящее время он представляет в основном исторический и теоретический интерес.

Интересные факты

• Алгоритм Карре иногда называют «методом псевдостоимостей» (pseudo-cost method) в зарубежной литературе, хотя этот термин также используется для обозначения других методов в целочисленном программировании.
• В 1970-х годах советский математик В. А. Булавский предложил модификацию алгоритма для задач с нелинейными ограничениями, но она не получила широкого распространения.
• Алгоритм Карре был реализован в нескольких ранних советских пакетах линейного программирования, таких как «ЛИНПРО» и «ОПТИМА», которые использовались на ЭВМ серии «Минск» и «ЕС ЭВМ».

Источники

• Carré, J. (1964). Une méthode de résolution des problèmes de programmation linéaire. Revue Française de Recherche Opérationnelle, 8(1), 3–18.
• Булавский, В. А. (1975). Численные методы линейного программирования. М.: Наука.
• Данциг, Дж. (1963). Линейное программирование: его применения и обобщения. М.: Мир.
• Химмельблау, Д. (1972). Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир.