Анализ иерархий

Анализ иерархий (также известный как метод анализа иерархий, МАИ) — это математический метод системного анализа, предназначенный для поддержки принятия решений в условиях многокритериальности. Метод был разработан американским математиком Томасом Саати в 1970-х годах и основан на декомпозиции сложной проблемы на более простые составляющие с последующим попарным сравнением альтернатив по заданным критериям. Результатом применения метода является численная оценка приоритетов (весов) альтернатив, позволяющая выбрать наилучший вариант.

История возникновения

Метод анализа иерархий был впервые опубликован Томасом Саати в 1977 году в статье «A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures». В 1980 году вышла его монография «The Analytic Hierarchy Process», которая заложила теоретическую базу метода. Разработка МАИ была мотивирована необходимостью формализовать субъективные суждения лиц, принимающих решения, и сочетать их с объективными данными.

Первоначально метод применялся в военно-промышленном комплексе США для планирования ресурсов и оценки сценариев развития. В 1980-е годы МАИ начал активно использоваться в бизнес-планировании, экономике, экологии и социальных науках. В России метод получил распространение в 1990-е годы, в основном в сфере управления проектами и логистики.

Основные понятия и структура

Иерархия

Центральным понятием метода является иерархическая структура задачи. Она представляет собой многоуровневую модель, где на верхнем уровне находится цель (глобальный критерий), на промежуточных — критерии (факторы, влияющие на достижение цели), а на нижнем — альтернативы (варианты решений). Количество уровней может варьироваться, но обычно не превышает 7–9, что связано с психологическими ограничениями человеческого восприятия.

Попарное сравнение

Для каждого уровня иерархии эксперт (или группа экспертов) проводит попарное сравнение элементов. Сравнение выполняется по шкале относительной важности, предложенной Саати. Используется 9-балльная шкала:

• 1 — равная важность;
• 3 — умеренное превосходство одного над другим;
• 5 — сильное превосходство;
• 7 — очень сильное превосходство;
• 9 — абсолютное превосходство.

Промежуточные значения (2, 4, 6, 8) используются для компромиссных оценок. Обратные величины (1/3, 1/5 и т.д.) применяются, когда второй элемент важнее первого.

Матрица парных сравнений

Результаты сравнений заносятся в квадратную матрицу. Элемент матрицы a_ij показывает, во сколько раз i-й элемент важнее j-го. Для согласованной матрицы выполняется свойство: a_ij * a_jk = a_ik (транзитивность). На практике полная согласованность достигается редко, поэтому метод включает процедуру проверки согласованности.

Синтез приоритетов

На основе матриц парных сравнений вычисляются векторы приоритетов — нормализованные собственные векторы матриц. Для этого используется метод собственного значения: решается уравнение A w = λ_max w, где A — матрица сравнений, w — собственный вектор, λ_max — максимальное собственное значение. Полученные веса нормируются так, чтобы их сумма равнялась единице.

Процедура применения

Метод анализа иерархий реализуется в несколько этапов:

1. Формулировка цели — четкое определение задачи принятия решения.
2. Построение иерархии — выделение критериев, подкритериев и альтернатив.
3. Сбор данных — проведение попарных сравнений экспертами.
4. Расчет локальных приоритетов — вычисление весов элементов каждого уровня относительно вышестоящего.
5. Проверка согласованности — расчет индекса согласованности (CI) и отношения согласованности (CR). Если CR > 0,1 (для матриц размером 3×3 — более 0,05), экспертные оценки считаются несогласованными и требуют пересмотра.
6. Глобальный синтез — умножение локальных приоритетов на веса вышестоящих критериев и суммирование по уровням.
7. Выбор оптимальной альтернативы — альтернатива с наибольшим глобальным приоритетом признается наилучшей.

Классификация и разновидности

По числу иерархических уровней

• Двухуровневые — только цель и альтернативы (простейший случай).
• Многоуровневые — включают критерии и подкритерии (наиболее распространены).

По способу обработки неопределенности

• Классический МАИ — использует детерминированные оценки.
• Нечеткий МАИ (Fuzzy AHP) — применяет нечеткие числа (треугольные или трапециевидные) для учета неопределенности суждений.
• Групповой МАИ — агрегирует мнения нескольких экспертов с использованием среднего геометрического.

Применение

Бизнес и управление

• Выбор поставщика или подрядчика.
• Оценка инвестиционных проектов.
• Распределение ресурсов между подразделениями.
• Аттестация персонала.

Экономика и финансы

• Рейтингование банков и страховых компаний.
• Оценка рисков кредитования.
• Выбор портфеля ценных бумаг.

Экология и природопользование

• Оценка воздействия на окружающую среду.
• Выбор места для строительства промышленных объектов.
• Ранжирование природоохранных мероприятий.

Социальные науки и политика

• Оценка эффективности государственных программ.
• Прогнозирование социальных процессов.
• Принятие решений в условиях конфликта интересов.

Техника и технологии

• Выбор материалов для конструкции.
• Оптимизация технологических процессов.
• Оценка надежности систем.

Преимущества и ограничения

Преимущества

• Позволяет учитывать как количественные, так и качественные критерии.
• Обеспечивает прозрачность процесса принятия решений.
• Дает возможность проверить согласованность экспертных суждений.
• Не требует сложного математического аппарата для понимания.

Недостатки и критика

• Субъективность — результат сильно зависит от квалификации и честности экспертов.
• Проблема шкалирования — 9-балльная шкала может быть недостаточно чувствительной для некоторых задач.
• Нарушение транзитивности — при большом числе сравнений (более 9) согласованность резко падает.
• Критика со стороны статистиков — метод не дает вероятностных оценок и не учитывает корреляцию между критериями.
• Трудоемкость — при большом числе альтернатив (n) требуется n(n-1)/2 сравнений, что экспоненциально увеличивает объем работы.

Программное обеспечение

Для автоматизации расчетов по методу анализа иерархий существуют специализированные программы:

• Expert Choice — коммерческое ПО, один из первых инструментов для МАИ.
• SuperDecisions — бесплатная программа, разработанная под руководством Т. Саати, поддерживает также метод аналитических сетей (ANP).
• MPRIORITY — российская разработка, ориентированная на задачи управления качеством.
• Пакеты расширения для Excel — например, «AHP Calculator» или «MakeItRational».

Интересные факты

• Метод анализа иерархий является частным случаем более общего метода аналитических сетей (ANP), который допускает обратные связи между уровнями иерархии.
• Томас Саати утверждал, что идея метода пришла к нему во время изучения процессов мышления человека: мозг естественным образом сравнивает объекты попарно, а не все одновременно.
• В 2000-е годы МАИ подвергался критике со стороны некоторых математиков (например, Р. Дайера), которые указывали на возможность «ранговой инверсии» — изменения порядка предпочтений при добавлении новой альтернативы. Саати и его сторонники парировали эту критику, утверждая, что инверсия отражает реальное изменение контекста.
• В России метод анализа иерархий включен в учебные программы ряда технических и экономических вузов, а также используется в системах поддержки принятия решений в государственном управлении.

Источники

1. Саати Т. Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. — М.: Либроком, 2009.
2. Саати Т. Л. Математические модели конфликтных ситуаций. — М.: Советское радио, 1977.
3. Saaty T. L. The Analytic Hierarchy Process. — New York: McGraw-Hill, 1980.
4. Saaty T. L. Decision Making for Leaders: The Analytic Hierarchy Process for Decisions in a Complex World. — Pittsburgh: RWS Publications, 1990.
5. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — М.: Физматлит, 2004. (Глава о методах многокритериального выбора).
6. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2002.