Андерсоновская локализация

Андерсоновская локализация — это физическое явление, заключающееся в отсутствии диффузионного распространения волн (в частности, электронных волновых функций) в неупорядоченной среде, вызванное интерференцией многократно рассеянных волн. Впервые предсказано американским физиком Филипом Андерсоном в 1958 году в работе «Absence of Diffusion in Certain Random Lattices», за которую он впоследствии получил Нобелевскую премию по физике (1977). Явление является фундаментальным для понимания перехода металл-диэлектрик в неупорядоченных системах и лежит в основе физики локализованных состояний.

История открытия

Предпосылки

В 1950-х годах физика твёрдого тела активно развивала теорию зонной структуры кристаллов. В идеальном периодическом кристалле электронные состояния описываются блоховскими волнами, распространяющимися по всему объёму. Однако реальные материалы всегда содержат дефекты, примеси и несовершенства решётки. Классическая теория рассматривала рассеяние электронов на таких дефектах как причину конечного сопротивления, но предполагала, что при достаточно низкой концентрации дефектов электроны остаются делокализованными и могут свободно перемещаться.

Работа Филипа Андерсона (1958)

Филип Андерсон, работавший в Bell Labs, в 1958 году опубликовал статью, в которой показал, что при определённых условиях (достаточно сильном беспорядке) волновая функция электрона может стать экспоненциально локализованной в пространстве. Это означает, что электрон не может покинуть ограниченную область, и диффузия вещества прекращается. Андерсон рассмотрел простую модель — решётку случайных потенциалов, где каждый узел имеет случайную энергию, а взаимодействие между узлами описывается интегралом перескока. Он показал, что если разброс энергий узлов превышает некоторый критический порог, все состояния становятся локализованными.

Признание и развитие

Первоначально работа Андерсона не получила широкого признания; многие физики считали, что в реальных системах локализация невозможна из-за эффектов взаимодействия и конечной температуры. Однако в 1960-х годах Н. Мотт и другие теоретики развили концепцию перехода Андерсона, связав её с переходом металл-диэлектрик. В 1970-х годах Д. Трулингер, Э. Абрахамс и другие создали теорию скейлинга локализации, которая позволила количественно описать критическое поведение вблизи порога локализации. Экспериментальное подтверждение явления было получено в 1980-х годах в исследованиях проводимости неупорядоченных плёнок и полупроводниковых гетероструктур.

Физическая сущность

Квантовая интерференция

В отличие от классического рассеяния, при котором частица движется по случайной траектории, квантовая частица (электрон) описывается волновой функцией. При многократном рассеянии волна может распространяться по разным путям от точки A к точке B. В классическом случае вероятности этих путей складываются. В квантовом случае складываются амплитуды вероятности, что приводит к интерференции. Для путей, которые образуют замкнутые петли (возвращающиеся в исходную точку), интерференция может быть конструктивной, что увеличивает вероятность возврата частицы в исходную точку. Это явление называется слабой локализацией. При достаточно сильном беспорядке интерференция становится настолько сильной, что частица оказывается «запертой» в ограниченной области — наступает андерсоновская локализация.

Масштаб локализации

Локализованное состояние характеризуется длиной локализации ξ — расстоянием, на котором волновая функция убывает экспоненциально: ψ(r) ∼ exp(-r/ξ). Вблизи порога локализации длина локализации расходится, и система переходит в металлическое (делокализованное) состояние. Переход между локализованным и металлическим состоянием называется переходом Андерсона.

Роль размерности

Размерность системы играет критическую роль. В одномерных и двумерных системах, согласно теории скейлинга, все состояния являются локализованными при сколь угодно слабом беспорядке (в термодинамическом пределе). В трёхмерных системах существует порог беспорядка: при слабом беспорядке состояния делокализованы, при сильном — локализованы. В одномерных системах длина локализации может быть очень большой, что делает эффект практически ненаблюдаемым для малых образцов.

Классификация типов локализации

Андерсоновская локализация (сильная локализация)

Характеризуется полным отсутствием диффузии. Волновая функция экспоненциально спадает от центра локализации. Электрическая проводимость при нулевой температуре равна нулю. Типичный пример — диэлектрик с сильным беспорядком.

Слабая локализация

Представляет собой квантовую поправку к классической проводимости, обусловленную интерференцией волн, возвращающихся в исходную точку. Приводит к небольшому увеличению сопротивления при низких температурах. Наблюдается в грязных металлах и полупроводниках. Слабая локализация подавляется магнитным полем (эффект отрицательного магнетосопротивления).

Переход Андерсона

Переход между металлическим (делокализованным) и диэлектрическим (локализованным) состояниями при изменении степени беспорядка. Вблизи перехода проводимость ведёт себя как σ ∼ (n - n_c)^ν, где n — концентрация носителей, n_c — критическая концентрация, ν — критический индекс (обычно около 1,5 в трёхмерных системах).

Математическое описание

Модель Андерсона

Гамильтониан модели Андерсона имеет вид: H = Σ_i ε_i |i⟩⟨i| + t Σ_{⟨i,j⟩} |i⟩⟨j|, где ε_i — случайная энергия на узле i (обычно равномерно распределённая в интервале [-W/2, W/2]), t — интеграл перескока между соседними узлами, ⟨i,j⟩ — суммирование по ближайшим соседям. Параметр W/t характеризует степень беспорядка. При W/t > W_c/t все состояния локализованы.

Скейлинговая теория

Теория скейлинга, разработанная Абрахамсом, Андерсоном, Лицардом и Раммелем (1979), описывает поведение безразмерной проводимости g(L) как функции размера системы L. В металлической фазе g(L) растёт с L, в диэлектрической — падает. Существует неподвижная точка, соответствующая переходу. В одномерных системах g(L) всегда падает с L (локализация), в двумерных — также падает, но логарифмически медленно, в трёхмерных — возможен рост.

Экспериментальные наблюдения

Электронная локализация

Прямое наблюдение андерсоновской локализации электронов затруднено из-за электрон-электронного взаимодействия и конечной температуры. Наиболее убедительные эксперименты проведены на:

• Неупорядоченных тонких плёнках (например, InO_x, Al_2O_3 с примесями). При низких температурах наблюдается резкое возрастание сопротивления при уменьшении концентрации носителей.
• Полупроводниковых гетероструктурах (двумерный электронный газ). Измерения проводимости в зависимости от концентрации примесей демонстрируют переход металл-диэлектрик.
• Легированных полупроводниках (например, Si:P). При низкой концентрации доноров электроны локализованы, и проводимость имеет активационный характер.

Локализация света

Андерсоновская локализация является универсальным волновым явлением и наблюдается не только для электронов, но и для электромагнитных волн. В 1990-х годах были проведены эксперименты по локализации света в сильно рассеивающих средах (например, в порошках полупроводников). При определённых условиях свет не может распространяться через образец, что проявляется в резком падении коэффициента пропускания.

Локализация ультразвука и холодных атомов

В 2000-х годах явление было подтверждено для акустических волн в неупорядоченных упругих средах и для волновых функций холодных атомов в оптических решётках со случайным потенциалом. Эксперименты с холодными атомами особенно ценны, так как позволяют контролировать степень беспорядка и взаимодействие между частицами.

Применение и значение

Физика конденсированного состояния

Андерсоновская локализация является ключевым понятием для понимания перехода металл-диэлектрик в неупорядоченных системах, таких как легированные полупроводники, аморфные металлы, гранулированные плёнки. Она объясняет, почему некоторые материалы, которые по зонной теории должны быть металлами, на самом деле являются диэлектриками.

Квантовые вычисления и спинтроника

Локализованные состояния могут быть использованы для создания квантовых битов (кубитов), так как они слабо взаимодействуют с окружением и имеют длительное время когерентности. Исследуется возможность применения эффекта в спинтронных устройствах, где локализация спина может обеспечить стабильность магнитных состояний.

Фотоника и акустика

Локализация света и звука может быть использована для создания высокоэффективных изоляторов и фильтров. В фотонных кристаллах с беспорядком можно получить запрещённые зоны для определённых частот, что применяется в лазерной технике и оптоэлектронике.

Теория сложных систем

Математический аппарат андерсоновской локализации применяется в других областях физики, таких как локализация в квантовых графах, локализация в системах с квазипериодическим потенциалом (например, в модели Харпера), а также в теории случайных матриц.

Критика и ограничения

Роль взаимодействия

Оригинальная теория Андерсона рассматривает невзаимодействующие частицы. В реальных системах электрон-электронное взаимодействие может существенно менять картину локализации. В частности, взаимодействие может приводить к разрушению локализации (эффект «металлизации» при сильном взаимодействии) или, наоборот, к усилению локализации (образование вигнеровского кристалла). Теория взаимодействующих локализованных систем (многочастичная локализация) является активной областью исследований.

Конечная температура

При конечной температуре электроны могут перескакивать между локализованными состояниями за счёт фононов (прыжковая проводимость). Это приводит к тому, что даже в локализованной фазе проводимость не равна нулю, а имеет активационный характер. Экспериментальное различие между истинной локализацией и прыжковой проводимостью требует измерений при сверхнизких температурах.

Ограничения модели

Модель Андерсона предполагает отсутствие корреляций в беспорядке и короткодействующие перескоки. В реальных системах могут быть важны дальнодействующие взаимодействия, корреляции в расположении примесей, а также эффекты размерного квантования. Эти факторы могут модифицировать порог локализации и критическое поведение.

Источники

• Anderson, P. W. (1958). Absence of Diffusion in Certain Random Lattices. Physical Review, 109(5), 1492–1505.
• Abrahams, E., Anderson, P. W., Licciardello, D. C., & Ramakrishnan, T. V. (1979). Scaling Theory of Localization: Absence of Quantum Diffusion in Two Dimensions. Physical Review Letters, 42(10), 673–676.
• Mott, N. F. (1974). Metal-Insulator Transitions. Taylor & Francis.
• Lee, P. A., & Ramakrishnan, T. V. (1985). Disordered Electronic Systems. Reviews of Modern Physics, 57(2), 287–337.
• Lagendijk, A., van Tiggelen, B., & Wiersma, D. S. (2009). Fifty years of Anderson localization. Physics Today, 62(8), 24–29.
• Sheng, P. (1995). Introduction to Wave Scattering, Localization and Mesoscopic Phenomena. Academic Press.