Гамильтониан

Гамильтониан (также функция Гамильтона) — это скалярная функция, описывающая полную энергию физической системы в формализме классической и квантовой механики. В классической механике гамильтониан представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий, выраженную через обобщённые координаты и обобщённые импульсы. В квантовой механике гамильтониан является оператором, соответствующим полной энергии системы, и играет центральную роль в уравнении Шрёдингера, определяя её временную эволюцию. Название дано в честь ирландского математика и физика Уильяма Роуэна Гамильтона, который в 1833 году предложил формализм, ныне известный как гамильтонова механика.

История

Происхождение в классической механике

Гамильтониан возник в рамках развития аналитической механики в XIX веке. В 1788 году Жозеф Луи Лагранж опубликовал «Аналитическую механику», где ввёл лагранжиан — функцию, зависящую от обобщённых координат и скоростей, и сформулировал уравнения Лагранжа второго рода. Уильям Гамильтон, стремясь придать механике более симметричную и математически изящную форму, в 1833 году предложил заменить обобщённые скорости на обобщённые импульсы и ввёл новую функцию — гамильтониан. В 1834 году он опубликовал работу «Об общем методе в динамике», где изложил основы гамильтоновой механики, включая канонические уравнения.

Развитие в квантовой механике

В 1925 году Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Йордан разработали матричную механику — первую последовательную формулировку квантовой механики, где физическим величинам сопоставлялись матрицы. Гамильтониан в этой теории стал эрмитовым оператором, матричные элементы которого определяли энергетические уровни системы. В 1926 году Эрвин Шрёдингер предложил волновую механику, где гамильтониан выступал как дифференциальный оператор в волновом уравнении. В том же году Поль Дирак обобщил формализм, связав классические скобки Пуассона с квантовыми коммутаторами, что позволило единообразно вводить гамильтониан для различных систем.

Классическая механика

Определение и формализм

В классической механике гамильтониан \( H \) определяется через преобразование Лежандра от лагранжиана \( L \):

\[ H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t), \]

где \( q_i \) — обобщённые координаты, \( \dot{q}_i \) — обобщённые скорости, \( p_i \) — обобщённые импульсы, определяемые как \( p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i \). Для консервативных систем, где лагранжиан не зависит явно от времени, гамильтониан совпадает с полной механической энергией:

\[ H = T + V, \]

где \( T \) — кинетическая энергия, \( V \) — потенциальная энергия.

Канонические уравнения Гамильтона

Эволюция системы во времени описывается каноническими уравнениями Гамильтона:

\[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. \]

Эти уравнения представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, что делает их удобными для анализа в фазовом пространстве (пространстве координат и импульсов). В отличие от уравнений Лагранжа (второго порядка), гамильтонов формализм позволяет использовать симметрии и сохраняющиеся величины (через скобки Пуассона).

Пример: гармонический осциллятор

Для одномерного гармонического осциллятора с массой \( m \) и жёсткостью \( k \) гамильтониан имеет вид:

\[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2, \]

где \( x \) — координата, \( p = m \dot{x} \) — импульс. Канонические уравнения дают:

\[ \dot{x} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -k x, \]

что эквивалентно уравнению движения \( m \ddot{x} + k x = 0 \).

Квантовая механика

Оператор Гамильтона

В квантовой механике гамильтониан становится эрмитовым оператором \( \hat{H} \), действующим в гильбертовом пространстве состояний. Для системы, описываемой волновой функцией \( \Psi(\mathbf{r}, t) \), оператор Гамильтона получается из классического гамильтониана заменой физических величин на соответствующие операторы:

• Координата \( x \to \hat{x} \) (оператор умножения на \( x \)).
• Импульс \( p \to \hat{p} = -i\hbar \nabla \) (в координатном представлении).

Для нерелятивистской частицы массы \( m \) в потенциальном поле \( V(\mathbf{r}) \) оператор Гамильтона имеет вид:

\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}), \]

где \( \hbar \) — редуцированная постоянная Планка, \( \nabla^2 \) — оператор Лапласа.

Уравнение Шрёдингера

Временное уравнение Шрёдингера:

\[ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi \]

описывает эволюцию волновой функции во времени. Стационарное уравнение Шрёдингера:

\[ \hat{H} \psi = E \psi \]

позволяет найти собственные значения \( E_n \) (энергетические уровни) и собственные функции \( \psi_n \) (стационарные состояния). Спектр гамильтониана может быть дискретным (связанные состояния) или непрерывным (состояния рассеяния).

Пример: атом водорода

Гамильтониан для электрона в атоме водорода (в системе центра масс) включает кинетическую энергию и кулоновский потенциал:

\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}, \]

где \( m_e \) — масса электрона, \( e \) — элементарный заряд, \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная. Решение стационарного уравнения Шрёдингера даёт энергетические уровни:

\[ E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi \varepsilon_0)^2 \hbar^2} \cdot \frac{1}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]

Свойства и теоремы

Сохранение энергии

Если гамильтониан не зависит явно от времени, то его значение (полная энергия) сохраняется в процессе движения. В квантовой механике это означает, что среднее значение энергии \( \langle \hat{H} \rangle \) остаётся постоянным, а собственные состояния гамильтониана являются стационарными.

Скобки Пуассона и коммутаторы

В классической механике скобки Пуассона двух величин \( A \) и \( B \) определяются как:

\[ \{A, B\} = \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right). \]

Уравнения движения для любой величины \( A \) имеют вид:

\[ \frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}. \]

В квантовой механике аналогичную роль играют коммутаторы:

\[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}, \]

и уравнение Гейзенберга для оператора:

\[ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{A}] + \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}. \]

Теорема Нётер

Гамильтонов формализм тесно связан с симметриями: каждой непрерывной симметрии системы соответствует сохраняющаяся величина (интеграл движения). Например, инвариантность гамильтониана относительно сдвигов во времени ведёт к сохранению энергии, относительно сдвигов в пространстве — к сохранению импульса, относительно поворотов — к сохранению момента импульса.

Применения

Классическая физика

• Небесная механика: гамильтониан используется для описания движения планет и спутников, расчёта орбит и возмущений.
• Статистическая механика: функция Гамильтона лежит в основе канонического распределения Гиббса, где вероятность состояния пропорциональна \( \exp(-H/kT) \).
• Теория колебаний: анализ нормальных мод в связанных системах (например, цепочки атомов) проводится через гамильтониан.

Квантовая физика

• Атомная и молекулярная физика: расчёт энергетических уровней и волновых функций электронов.
• Физика твёрдого тела: гамильтониан Блоха описывает электроны в периодическом потенциале кристаллической решётки.
• Квантовая теория поля: гамильтониан вторичного квантования (например, для свободных полей или взаимодействующих частиц) используется для описания рождения и уничтожения частиц.

Математика и вычислительные методы

• Теория интегрируемых систем: гамильтониан с достаточным числом интегралов движения позволяет точно решать уравнения движения (например, цепочка Тоды).
• Численное моделирование: симплектические интеграторы, основанные на гамильтоновой структуре, применяются в молекулярной динамике и астрофизике для долгосрочного моделирования.

Интересные факты

• Гамильтониан является генератором временной эволюции: в квантовой механике оператор эволюции \( \hat{U}(t) = \exp(-i\hat{H}t/\hbar) \) переводит систему из начального состояния в конечное.
• В релятивистской квантовой механике (уравнение Дирака) гамильтониан содержит матричные компоненты, что приводит к предсказанию античастиц.
• Понятие гамильтониана обобщается на бесконечномерные системы (поля) в квантовой теории поля, где он становится функционалом полей и их импульсов.

Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Механика» (том 1 «Теоретической физики»).
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Квантовая механика: нерелятивистская теория» (том 3 «Теоретической физики»).
• Голдстейн Г. «Классическая механика».
• Дирак П. А. М. «Принципы квантовой механики».
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. «Фейнмановские лекции по физике», том 2.